En cylinder är en av de enkla tredimensionella figurerna som studeras i skolans geometrikurs (sektion solid geometri). I det här fallet uppstår ofta problem med att beräkna volymen och massan av en cylinder, såväl som vid bestämning av dess yta. Svar på de markerade frågorna ges i den här artikeln.
Vad är en cylinder?
Innan du fortsätter med svaret på frågan, vad är cylinderns massa och dess volym, är det värt att överväga vad denna rumsliga figur är. Det bör genast noteras att en cylinder är ett tredimensionellt föremål. Det vill säga, i rymden kan du mäta tre av dess parametrar längs var och en av axlarna i ett kartesiskt rektangulärt koordinatsystem. Faktum är att för att entydigt bestämma dimensionerna på en cylinder räcker det att bara känna till två av dess parametrar.
Cylinder är en tredimensionell figur som bildas av två cirklar och en cylindrisk yta. För att tydligare representera detta objekt räcker det att ta en rektangel och börja rotera den runt någon av dess sidor, som kommer att vara rotationsaxeln. I det här fallet kommer den roterande rektangeln att beskriva formenrotation - cylinder.
Två runda ytor kallas cylinderns baser, de kännetecknas av en viss radie. Avståndet mellan baserna kallas höjden. De två baserna är sammankopplade av en cylindrisk yta. Linjen som går genom båda cirklarnas centrum kallas cylinderaxeln.
Volym och yta
Som du kan se från ovan definieras cylindern av två parametrar: höjden h och radien för dess bas r. Genom att känna till dessa parametrar är det möjligt att beräkna alla andra egenskaper hos den övervägda kroppen. Nedan är de viktigaste:
- Basernas område. Detta värde beräknas med formeln: S1=2pir2, där pi är pi lika med 3, 14. Siffra 2 i formeln visas eftersom cylindern har två identiska baser.
- Cylindrisk yta. Det kan beräknas så här: S2=2pirh. Det är lätt att förstå denna formel: om en cylindrisk yta skärs vertik alt från en bas till en annan och expanderas, kommer en rektangel att erhållas, vars höjd kommer att vara lika med cylinderns höjd och bredden kommer att motsvara omkretsen av basen av den tredimensionella figuren. Eftersom arean av den resulterande rektangeln är produkten av dess sidor, som är lika med h och 2pir, erhålls formeln ovan.
- Cylinderyta. Det är lika med summan av ytorna S1 och S2, vi får: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Volym. Detta värde är lätt att hitta, du behöver bara multiplicera arean av en bas med höjden på figuren: V=(S1/2)h=pir 2 h.
Bestämma massan av en cylinder
Äntligen är det värt att gå direkt till ämnet för artikeln. Hur bestämmer man massan på en cylinder? För att göra detta måste du känna till dess volym, formeln för beräkning som presenterades ovan. Och densiteten av det ämne som det består av. Massan bestäms av en enkel formel: m=ρV, där ρ är densiteten av materialet som bildar föremålet i fråga.
Begreppet densitet kännetecknar massan av ett ämne som befinner sig i en enhetsvolym av rymden. Till exempel. Det är känt att järn har högre densitet än trä. Detta innebär att i fallet med lika volymer järn och trämaterial kommer den förra att ha en mycket större massa än den senare (cirka 16 gånger).
Beräkna massan av en kopparcylinder
Tänk på ett enkelt problem. Det är nödvändigt att hitta massan av en cylinder gjord av koppar. För tydlighetens skull, låt cylindern ha en diameter på 20 cm och en höjd av 10 cm.
Innan du börjar lösa problemet bör du ta itu med källdata. Cylinderns radie är lika med hälften av dess diameter, vilket betyder r=20/2=10 cm, medan höjden är h=10 cm. Eftersom cylindern som behandlas i problemet är gjord av koppar, med hänvisning till referensdata, skriver vi ut densitetsvärdet för detta material: ρ=8, 96 g/cm3 (för temperatur 20 °C).
Nu kan du börja lösa problemet. Låt oss först beräkna volymen: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. Då blir cylinderns massa: m=ρV=8,963140=28134 gram eller ungefär 28 kilogram.
Du bör vara uppmärksam på måtten på enheterna när de används i motsvarande formler. Så i problemet presenterades alla parametrar i centimeter och gram.
homogena och ihåliga cylindrar
Av resultatet ovan kan man se att en kopparcylinder med relativt små dimensioner (10 cm) har en stor massa (28 kg). Detta beror inte bara på att den är gjord av tungt material, utan också på att den är homogen. Detta faktum är viktigt att förstå, eftersom formeln ovan för att beräkna massan endast kan användas om cylindern är helt (utvändigt och inuti) gjord av samma material, det vill säga den är homogen.
I praktiken används ofta ihåliga cylindrar (till exempel cylindriska fat för vatten). Det vill säga, de är gjorda av tunna ark av något material, men inuti är de tomma. För en ihålig cylinder kan den angivna formeln för beräkning av massan inte användas.
Beräkna massan av en ihålig cylinder
Det är intressant att beräkna vilken massa en kopparcylinder kommer att ha om den är tom inuti. Låt den till exempel göras av en tunn kopparplåt med en tjocklek på endast d=2 mm.
För att lösa det här problemet måste du hitta volymen på själva kopparn som objektet är gjort av. Inte cylindervolymen. Eftersom tjocklekenarket är litet jämfört med cylinderns dimensioner (d=2 mm och r=10 cm), då kan kopparvolymen som föremålet är tillverkat av hittas genom att multiplicera cylinderns hela yta med tjockleken på kopparplåten får vi: V=dS 3=d2pir(r+h). Genom att ersätta data från föregående problem får vi: V=0,223, 1410(10+10)=251,2 cm3. Massan av en ihålig cylinder kan erhållas genom att multiplicera den erhållna volymen koppar, som krävdes för dess tillverkning, med koppardensiteten: m \u003d 251,28,96 \u003d 2251 g eller 2,3 kg. Det vill säga att den betraktade ihåliga cylindern väger 12 (28, 1/2, 3) gånger mindre än en homogen.
