I matematik är inversa funktioner ömsesidigt motsvarande uttryck som övergår i varandra. För att förstå vad detta betyder är det värt att överväga ett specifikt exempel. Låt oss säga att vi har y=cos(x). Om vi tar cosinus från argumentet kan vi hitta värdet på y. Självklart måste du ha x för detta. Men vad händer om spelaren är initi alt given? Det är här det kommer till kärnan av saken. För att lösa problemet krävs användning av en invers funktion. I vårt fall är detta bågkosinus.
Efter alla transformationer får vi: x=arccos(y).
Det vill säga, för att hitta en funktion invers till en given, räcker det bara att uttrycka ett argument från den. Men detta fungerar bara om resultatet kommer att ha ett enda värde (mer om det senare).
I allmänna termer kan detta faktum skrivas på följande sätt: f(x)=y, g(y)=x.
Definition
Låt f vara en funktion vars domän är mängden X, ochvärdeintervallet är mängden Y. Sedan, om det finns g vars domäner utför motsatta uppgifter, är f reversibel.
Dessutom är g i det här fallet unikt, vilket betyder att det finns exakt en funktion som uppfyller denna egenskap (varken mer eller mindre). Då kallas den inversfunktionen, och i skrift betecknas den så här: g(x)=f -1(x).
Med andra ord kan de ses som en binär relation. Reversibilitet sker endast när ett element i uppsättningen motsvarar ett värde från ett annat.
Det finns inte alltid en invers funktion. För att göra detta måste varje element y є Y motsvara högst en x є X. Då kallas f en-till-en eller injektion. Om f -1 tillhör Y, måste varje element i denna mängd motsvara några x ∈ X. Funktioner med denna egenskap kallas surjektioner. Det gäller per definition om Y är en bild f, men så är inte alltid fallet. För att vara omvänd måste en funktion vara både en injektion och en injektion. Sådana uttryck kallas bijektioner.
Exempel: kvadrat- och rotfunktioner
Funktionen definieras på [0, ∞) och ges av formeln f (x)=x2.
Då är det inte injektivt, eftersom alla möjliga utfall Y (förutom 0) motsvarar två olika X - ett positivt och ett negativt, så det är inte reversibelt. I det här fallet kommer det att vara omöjligt att få de initiala uppgifterna från de mottagna, vilket motsägerteorier. Det kommer att vara icke-injektiv.
Om definitionsdomänen är villkorligt begränsad till icke-negativa värden, kommer allt att fungera som tidigare. Då är den bijektiv och därmed inverterbar. Den inversa funktionen här kallas positiv.
Anmärkning om inträde
Låt beteckningen f -1 (x) kanske förvirra en person, men den bör inte i något fall användas så här: (f (x)) - 1 . Det hänvisar till ett helt annat matematiskt koncept och har ingenting att göra med den inversa funktionen.
Som en allmän regel använder vissa författare uttryck som sin-1 (x).
Men andra matematiker tror att detta kan orsaka förvirring. För att undvika sådana svårigheter betecknas inversa trigonometriska funktioner ofta med prefixet "båge" (från den latinska bågen). I vårt fall talar vi om arcsine. Du kan också ibland se prefixet "ar" eller "inv" för vissa andra funktioner.
