Inom algebra finns ett koncept av två typer av likheter - identiteter och ekvationer. Identiteter är sådana likheter som är möjliga för alla värden på bokstäverna som ingår i dem. Ekvationer är också likheter, men de är möjliga endast för vissa värden av bokstäverna som ingår i dem.
Bokstäver är vanligtvis olika när det gäller uppgiften. Detta innebär att vissa av dem kan ta på sig alla tillåtna värden, kallade koefficienter (eller parametrar), medan andra - de kallas okända - tar på sig värden som måste hittas i lösningsprocessen. I regel betecknas okända kvantiteter i ekvationer med bokstäver, de sista i det latinska alfabetet (x.y.z, etc.), eller med samma bokstäver, men med ett index (x1, x 2, etc.), och de kända koefficienterna ges av de första bokstäverna i samma alfabet.
Baserat på antalet okända, särskiljs ekvationer med en, två och flera okända. Således kallas alla värden för de okända som ekvationen som löses förvandlas till en identitet för lösningar av ekvationerna. En ekvation kan anses löst om alla dess lösningar hittas eller det bevisas att den inte har några. Uppgiften "lösa ekvationen" i praktiken är vanlig och innebär att du behöver hitta roten till ekvationen.
Definition: rötterna till en ekvation är de värden av de okända från intervallet av tillåtna värden där ekvationen som löses blir en identitet.
Algorithmen för att lösa absolut alla ekvationer är densamma, och dess innebörd är att reducera detta uttryck till en enklare form med hjälp av matematiska transformationer. Ekvationer som har samma rötter kallas ekvivalenta i algebra.
Det enklaste exemplet: 7x-49=0, roten av ekvationen x=7;x-7=0, på samma sätt roten x=7, därför är ekvationerna ekvivalenta. (I speciella fall kanske ekvationer inte har rötter alls.)
Om roten till en ekvation också är roten till en annan, enklare ekvation som erhålls från den ursprungliga ekvationen genom transformationer, så kallas den senare en konsekvens av den föregående ekvationen.
Om en av de två ekvationerna är en konsekvens av den andra, anses de vara likvärdiga. De kallas också likvärdiga. Exemplet ovan illustrerar detta.
Att lösa även de enklaste ekvationerna i praktiken är ofta svårt. Som ett resultat av lösningen kan du få en rot av ekvationen, två eller flera, till och med ett oändligt antal - det beror på typen av ekvationer. Det finns också de som inte har några rötter, de kallas oavgörbara.
Exempel:
1) 15x -20=10; x=2. Detta är den enda roten till ekvationen.
2) 7x - y=0. Ekvationen har ett oändligt antal rötter, eftersom varje variabel kan ha otaligaantal värden.
3) x2=- 16. Ett tal upphöjt till andra potens ger alltid ett positivt resultat, så det är omöjligt att hitta roten till ekvationen. Detta är en av de olösliga ekvationerna som nämns ovan.
Lösningens riktighet kontrolleras genom att ersätta de hittade rötterna istället för bokstäver och lösa det resulterande exemplet. Om identiteten håller är lösningen korrekt.
