Vektor är ett viktigt geometriskt objekt, med hjälp av dess egenskaper är det bekvämt att lösa många problem på planet och i rymden. I den här artikeln kommer vi att definiera den, överväga dess huvudsakliga egenskaper och även visa hur en vektor i rymden kan användas för att definiera plan.
Vad är en vektor: tvådimensionellt fall
Först och främst är det nödvändigt att tydligt förstå vilket objekt vi talar om. Inom geometri kallas ett riktat segment en vektor. Som alla segment kännetecknas det av två huvudelement: start- och slutpunkterna. Koordinaterna för dessa punkter bestämmer unikt alla egenskaper hos vektorn.
Låt oss betrakta ett exempel på en vektor på ett plan. För att göra detta ritar vi två ömsesidigt vinkelräta axlar x och y. Låt oss markera en godtycklig punkt P(x, y). Om vi kopplar denna punkt till origo (punkt O), och sedan anger riktningen till P, så får vi vektorn OP¯ (senare i artikeln indikerar stapeln över symbolen att vi överväger en vektor). Vektorritningen på planet visas nedan.
Här visas också en annan vektor AB¯, och du kan se att dess egenskaper är exakt samma som OP¯, men den är i en annan del av koordinatsystemet. Genom parallell översättning OP¯ kan du få ett oändligt antal vektorer med samma egenskaper.
Vektor i rymden
Alla verkliga föremål som omger oss är i tredimensionell rymd. Studiet av de geometriska egenskaperna hos tredimensionella figurer handlar om stereometri, som arbetar med begreppet tredimensionella vektorer. De skiljer sig från tvådimensionella endast genom att deras beskrivning kräver en extra koordinat, som mäts längs den tredje vinkelräta x- och y-axeln z.
Figuren nedan visar en vektor i rymden. Koordinaterna för dess ände längs varje axel indikeras med färgade segment. Början av vektorn är belägen i skärningspunkten för alla tre koordinataxlarna, det vill säga den har koordinater (0; 0; 0).
Eftersom en vektor på ett plan är ett specialfall av ett rumsligt riktat segment kommer vi endast att överväga en tredimensionell vektor i artikeln.
Vektorkoordinater baserade på kända koordinater för dess start och slut
Anta att det finns två punkter P(x1; y1; z1) och Q(x2; y2; z2). Hur man bestämmer koordinaterna för vektorn PQ¯. Först är det nödvändigt att komma överens om vilken av punkterna som kommer att vara början och vilken slutet av vektorn. I matematik är det vanligt att skriva objektet i fråga längs dess riktning, det vill säga P är början, Q- slutet. För det andra beräknas koordinaterna för vektorn PQ¯ som skillnaden mellan motsvarande koordinater för slutet och början, det vill säga:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Observera att genom att ändra riktningen på vektorn kommer dess koordinater att ändra tecken, enligt följande:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Detta betyder PQ¯=-QP¯.
Det är viktigt att förstå en sak till. Det sades ovan att det i planet finns ett oändligt antal vektorer lika med den givna. Detta faktum gäller även för det rumsliga fallet. Faktum är att när vi beräknade koordinaterna för PQ¯ i exemplet ovan, utförde vi operationen med parallell translation av denna vektor på ett sådant sätt att dess ursprung sammanföll med ursprunget. Vektor PQ¯ kan ritas som ett riktat segment från origo till punkt M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Vektoregenskaper
Som alla geometriska objekt har en vektor några inneboende egenskaper som kan användas för att lösa problem. Låt oss kort lista dem.
Vektormodul är längden på det riktade segmentet. Genom att känna till koordinaterna är det lätt att beräkna det. För vektorn PQ¯ i exemplet ovan är modulen:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Vektormodul påplanet beräknas med en liknande formel, endast utan deltagande av den tredje koordinaten.
Summan och skillnaden av vektorer utförs enligt triangelregeln. Bilden nedan visar hur man lägger till och subtraherar dessa objekt.
För att få summavektorn, lägg till början av den andra till slutet av den första vektorn. Den önskade vektorn börjar i början av den första och slutar i slutet av den andra vektorn.
Skillnaden utförs med hänsyn till det faktum att den subtraherade vektorn ersätts med den motsatta, och sedan utförs additionsoperationen som beskrivs ovan.
Förutom addition och subtraktion är det viktigt att kunna multiplicera en vektor med ett tal. Om talet är lika med k, erhålls en vektor vars modul är k gånger annorlunda än den ursprungliga, och riktningen är antingen densamma (k>0) eller motsatt den ursprungliga (k<0).
Funktionen för multiplikation av vektorer sinsemellan definieras också. Vi kommer att peka ut ett separat stycke för det i artikeln.
Skalär och vektormultiplikation
Anta att det finns två vektorer u¯(x1; y1; z1) och v¯(x2; y2; z2). Vektor med vektor kan multipliceras på två olika sätt:
- Skalär. I det här fallet är resultatet ett tal.
- Vektor. Resultatet är en ny vektor.
Skalärprodukten av vektorerna u¯ och v¯ beräknas enligt följande:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Där α är vinkeln mellan de givna vektorerna.
Det kan visas att genom att känna till koordinaterna u¯ och v¯, kan deras prickprodukt beräknas med följande formel:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Den skalära produkten är bekväm att använda när en vektor sönderdelas i två vinkelrätt riktade segment. Den används också för att beräkna parallelliteten eller ortogonaliteten hos vektorer och för att beräkna vinkeln mellan dem.
Korsprodukten av u¯ och v¯ ger en ny vektor som är vinkelrät mot de ursprungliga och har modul:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Riktning ned eller upp för den nya vektorn bestäms av högerhands regel (fyra fingrar på höger hand riktas från slutet av den första vektorn till slutet av den andra, och tummen sticker upp anger riktningen för den nya vektorn). Figuren nedan visar resultatet av korsprodukten för godtyckliga a¯ och b¯.
Korsprodukten används för att beräkna arean av figurer, samt för att bestämma koordinaterna för en vektor vinkelrät mot ett givet plan.
Vektorer och deras egenskaper är bekväma att använda när man definierar ekvationen för ett plan.
Normal och generell ekvation för planet
Det finns flera sätt att definiera ett plan. En av dem är härledningen av planets allmänna ekvation, som följer direkt av kunskapen om vektorn vinkelrät mot det och någon känd punkt som hör till planet.
Antag att det finns en vektor n¯ (A; B; C) och en punkt P (x0; y0; z 0). Vilket villkor kommer att uppfylla alla punkter Q(x; y; z) i planet? Detta tillstånd består i vinkelrätheten hos vilken vektor PQ¯ som helst mot det normala n¯. För två vinkelräta vektorer blir punktprodukten noll (cos(90o)=0), skriv detta:
(n¯PQ¯)=0 eller
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
När vi öppnar parentesen får vi:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 eller
Ax + By + Cz +D=0 där D=-Ax0-By0-Cz0.
Denna ekvation kallas allmän för planet. Vi ser att koefficienterna framför x, y och z är koordinaterna för den vinkelräta vektorn n¯. Det kallas en flygguide.
Vektorparametrisk ekvation för planet
Det andra sättet att definiera ett plan är att använda två vektorer som ligger i det.
Anta att det finns vektorer u¯(x1; y1; z1) och v¯(x2; y2; z2). Som det sades kan var och en av dem i rymden representeras av ett oändligt antal identiska riktade segment, därför behövs ytterligare en punkt för att unikt bestämma planet. Låt denna punkt vara P(x0;y0; z0). Vilken punkt Q(x; y; z) som helst kommer att ligga i det önskade planet om vektorn PQ¯ kan representeras som en kombination av u¯ och v¯. Det vill säga, vi har:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Där α och β är några reella tal. Av denna likhet följer uttrycket:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Det kallas en parametrisk vektorekvation för planet med avseende på 2 vektorer u¯ och v¯. Genom att ersätta godtyckliga parametrar α och β, kan man hitta alla punkter (x; y; z) som hör till detta plan.
Från denna ekvation är det lätt att få det allmänna uttrycket för planet. För att göra detta räcker det med att hitta riktningsvektorn n¯, som kommer att vara vinkelrät mot båda vektorerna u¯ och v¯, det vill säga deras vektorprodukt ska tillämpas.
Problemet med att bestämma den allmänna ekvationen för planet
Låt oss visa hur man använder formlerna ovan för att lösa geometriska problem. Antag att planets riktningsvektor är n¯(5; -3; 1). Du bör hitta ekvationen för planet, i vetskap om att punkten P(2; 0; 0) tillhör det.
Den allmänna ekvationen skrivs som:
Ax + By + Cz +D=0.
Eftersom vektorn vinkelrät mot planet är känd kommer ekvationen att ha formen:
5x - 3y + z +D=0.
Det återstår att hitta den fria termen D. Vi beräknar den utifrån kunskapen om koordinaterna P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Den önskade ekvationen för planet har alltså formen:
5x - 3y + z -10=0.
Figuren nedan visar hur det resulterande planet ser ut.
De angivna koordinaterna för punkterna motsvarar skärningspunkterna mellan planet och x-, y- och z-axlarna.
Problemet med att bestämma planet genom två vektorer och en punkt
Anta nu att det föregående planet definieras annorlunda. Två vektorer u¯(-2; 0; 10) och v¯(-2; -10/3; 0) är kända, liksom punkten P(2; 0; 0). Hur skriver man planekvationen i vektorparametrisk form? Genom att använda den övervägda motsvarande formeln får vi:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Observera att definitionerna av denna ekvation av planet, vektorerna u¯ och v¯ kan tas absolut vilka som helst, men med ett villkor: de får inte vara parallella. Annars kan planet inte bestämmas unikt, men man kan hitta en ekvation för en stråle eller en uppsättning plan.
