Vad är aritmetik? När började mänskligheten använda siffror och arbeta med dem? Var tar rötterna vägen till sådana vardagliga begrepp som tal, bråk, subtraktion, addition och multiplikation, som en person har gjort till en oskiljaktig del av sin livs- och världsbild? Forntida grekiska sinnen beundrade vetenskaper som matematik, aritmetik och geometri som de vackraste symfonierna inom mänsklig logik.
Aritmetiken kanske inte är lika djup som andra vetenskaper, men vad skulle hända med dem om en person glömmer den elementära multiplikationstabellen? Det logiska tänkandet som var vanligt för oss, att använda siffror, bråk och andra verktyg, var inte lätt för människor och var under lång tid otillgängligt för våra förfäder. Före utvecklingen av aritmetik var faktiskt inget område av mänsklig kunskap verkligt vetenskapligt.
Aritmetik är matematikens ABC
Aritmetik är vetenskapen om siffror, med vilken varje person börjar bekanta sig med matematikens fascinerande värld. Som M. V. Lomonosov sa, aritmetiken är inlärningsporten, som öppnar vägen till världskunskap för oss. Men han har rättÄr kunskapen om världen kan skiljas från kunskapen om siffror och bokstäver, matematik och tal? Kanske i gamla dagar, men inte i den moderna världen, där den snabba utvecklingen av vetenskap och teknik dikterar sina egna lagar.
Ordet "arithmetic" (grekiska "arithmos") av grekiskt ursprung betyder "tal". Hon studerar siffror och allt som kan kopplas till dem. Det här är talens värld: olika operationer på tal, numeriska regler, att lösa problem som är relaterade till multiplikation, subtraktion, etc.
Det är allmänt accepterat att aritmetiken är det första steget i matematiken och en solid grund för dess mer komplexa avsnitt, såsom algebra, matematisk analys, högre matematik, etc.
Huvudobjekt för aritmetik
Aritmetikens grund är ett heltal, vars egenskaper och mönster beaktas i högre aritmetik eller t alteori. Faktum är att styrkan hos hela byggnaden – matematik – beror på hur korrekt tillvägagångssättet tas när man betraktar ett så litet block som ett naturligt tal.
Därför kan frågan om vad aritmetik är enkelt besvaras: det är vetenskapen om siffror. Ja, om de vanliga sju, nio och hela denna mångfaldiga gemenskap. Och precis som man inte kan skriva bra eller ens den mest mediokra poesi utan ett elementärt alfabet, kan man inte lösa ens ett elementärt problem utan aritmetik. Det är därför alla vetenskaper avancerade först efter utvecklingen av aritmetik och matematik, innan dess var det bara en uppsättning antaganden.
Aritmetik är en fantomvetenskap
Vad är aritmetik - naturvetenskap eller fantom? I själva verket, som de antika grekiska filosoferna hävdade, existerar varken siffror eller siffror i verkligheten. Detta är bara ett fantom som skapas i mänskligt tänkande när man betraktar miljön med dess processer. Förresten, vad är ett nummer? Ingenstans runt omkring ser vi något sådant som kan kallas ett tal, snarare är ett tal ett sätt för det mänskliga sinnet att studera världen. Eller kanske det är studiet av oss själva inifrån? Filosofer har argumenterat om detta i många århundraden i rad, så vi förbinder oss inte att ge ett uttömmande svar. På ett eller annat sätt har aritmetiken lyckats ta sin plats så starkt att ingen i den moderna världen kan anses vara soci alt anpassad utan att känna till dess grunder.
Hur såg det naturliga talet ut
Naturligtvis är huvudobjektet som aritmetiken arbetar på ett naturligt tal, som 1, 2, 3, 4, …, 152… osv. Aritmetiken av naturliga tal är resultatet av att man räknar vanliga föremål, till exempel kor på en äng. Ändå slutade definitionen av "mycket" eller "lite" en gång att passa människor, och de var tvungna att uppfinna mer avancerade räknetekniker.
Men det verkliga genombrottet inträffade när mänskligt tänkande nådde den punkt att det är möjligt att beteckna 2 kilogram och 2 tegelstenar och 2 delar med samma nummer "två". Faktum är att du behöver abstrahera från formerna, egenskaperna och betydelsen av objekt, då kan du utföra några åtgärder med dessa objekt i form av naturliga tal. Så föddes aritmetiken av siffror, somvidareutvecklas och utvidgas och intar allt större positioner i samhällets liv.
Sådana djupgående begrepp om tal som noll och negativt tal, bråk, beteckningar av tal med tal och på andra sätt har en rik och intressant utvecklingshistoria.
Aritmetiska och praktiska egyptier
De två äldsta mänskliga följeslagarna när det gäller att utforska världen omkring oss och lösa vardagsproblem är aritmetik och geometri.
Man tror att aritmetikens historia har sitt ursprung i det antika östern: i Indien, Egypten, Babylon och Kina. Rinda-papyrusen av egyptiskt ursprung (så kallad eftersom den tillhörde ägaren med samma namn), som går tillbaka till 1900-talet. BC innehåller, förutom andra värdefulla data, expansionen av ett bråk till summan av bråk med olika nämnare och en täljare lika med ett.
Till exempel: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Men vad är poängen med en sådan komplex nedbrytning? Faktum är att det egyptiska tillvägagångssättet inte tolererade abstrakta tankar om siffror, tvärtom gjordes beräkningar endast för praktiska ändamål. Det vill säga, egyptiern kommer att ägna sig åt något sådant som beräkningar, enbart för att bygga en grav, till exempel. Det var nödvändigt att beräkna längden på kanten av strukturen, och detta tvingade en person att sätta sig bakom papyrusen. Som du kan se orsakades de egyptiska framstegen i beräkningar snarare av masskonstruktion än av kärlek till vetenskap.
Av denna anledning kan de beräkningar som finns på papyrus inte kallas reflektioner över ämnet bråk. Troligtvis är detta en praktisk förberedelse som hjälpte i framtiden.lösa problem med bråk. De gamla egyptierna, som inte kände till multiplikationstabellerna, gjorde ganska långa beräkningar, uppdelade i många deluppgifter. Kanske är detta en av dessa deluppgifter. Det är lätt att se att beräkningar med sådana arbetsstycken är mycket mödosamma och lovande. Kanske av denna anledning ser vi inte det antika Egyptens stora bidrag till utvecklingen av matematik.
Ankens Grekland och filosofisk aritmetik
Många kunskaper om det antika östern behärskades framgångsrikt av de gamla grekerna, berömda älskare av abstrakta, abstrakta och filosofiska reflektioner. De var inte mindre intresserade av praktiken, men det är svårt att hitta de bästa teoretikerna och tänkarna. Detta har gynnat vetenskapen, eftersom det är omöjligt att fördjupa sig i aritmetiken utan att bryta den från verkligheten. Visst, du kan föröka 10 kor och 100 liter mjölk, men du kommer inte så långt.
De djupt tänkande grekerna lämnade en betydande prägel på historien, och deras skrifter har kommit till oss:
- Euklid och elementen.
- Pythagoras.
- Archimedes.
- Eratosthenes.
- Zeno.
- Anaxagoras.
Och, naturligtvis, grekerna, som förvandlade allt till filosofi, och särskilt efterföljarna till Pythagoras verk, var så fascinerade av siffror att de ansåg dem vara mysteriet med världens harmoni. Siffror har studerats och undersökts i sådan omfattning att några av dem och deras par har tilldelats särskilda egenskaper. Till exempel:
- Perfekta tal är de som är lika med summan av alla deras divisorer, förutom själva talet (6=1+2+3).
- Vänliga nummer är dessa nummer, varav ettär lika med summan av alla delare av tvåan och vice versa (pytagoreerna kände bara till ett sådant par: 220 och 284).
Grekerna, som trodde att vetenskapen borde älskas, och inte vara med den för vinstens skull, nådde stor framgång genom att utforska, spela och lägga till siffror. Det bör noteras att inte all deras forskning användes i stor utsträckning, några av dem förblev bara "för skönhet".
östliga tänkare under medeltiden
På samma sätt, under medeltiden, har aritmetiken sin utveckling att tacka österländska samtida. Indianerna gav oss siffrorna som vi aktivt använder, ett begrepp som "noll", och den positionella versionen av kalkylen, bekant för modern uppfattning. Från Al-Kashi, som arbetade i Samarkand på 1400-talet, ärvde vi decimalbråk, utan vilka det är svårt att föreställa sig modern aritmetik.
På många sätt blev Europas bekantskap med österlandets landvinningar möjlig tack vare den italienska vetenskapsmannen Leonardo Fibonaccis arbete, som skrev verket "The Book of the Abacus", som introducerade österländska innovationer. Det blev hörnstenen i utvecklingen av algebra och aritmetik, forskning och vetenskaplig verksamhet i Europa.
rysk aritmetik
Och äntligen började aritmetiken, som fann sin plats och slog rot i Europa, spridas till ryska länder. Den första ryska aritmetiken publicerades 1703 - det var en bok om aritmetik av Leonty Magnitsky. Under lång tid förblev det den enda läroboken i matematik. Den innehåller de första momenten av algebra och geometri. Siffrorna som används i exemplen i den första aritmetiska läroboken i Ryssland är arabiska. Även om arabiska siffror har setts tidigare, på gravyrer som går tillbaka till 1600-talet.
Själva boken är dekorerad med bilder av Arkimedes och Pythagoras, och på det första arket - bilden av aritmetik i form av en kvinna. Hon sitter på en tron, under henne står ett ord skrivet på hebreiska som betecknar Guds namn, och på trappan som leder till tronen är orden "delning", "multiplikation", "tillägg" etc. inskrivna. sanningar som nu anses vara vanliga.
En 600-sidig lärobok täcker både grunderna som additions- och multiplikationstabeller och tillämpningar för navigationsvetenskap.
Det är inte förvånande att författaren valde bilder av grekiska tänkare för sin bok, eftersom han själv blev fängslad av skönheten i aritmetiken och sa: "Aritmetik är täljaren, det finns konst ärlig, föga avundsvärd …". Detta förhållningssätt till aritmetik är ganska berättigat, eftersom det är dess utbredda introduktion som kan betraktas som början på den snabba utvecklingen av vetenskapligt tänkande i Ryssland och allmän utbildning.
Unprime primtal
Ett primtal är ett naturligt tal som bara har två positiva delare: 1 och sig själv. Alla andra tal, förutom 1, kallas sammansatta. Exempel på primtal: 2, 3, 5, 7, 11 och alla andra som inte har några andra divisorer än 1 och sig själv.
När det gäller siffran 1 är den på ett speciellt konto - det finns en överenskommelse om att det varken ska betraktas som enkelt eller sammansatt. Enkelt vid första anblicken, ett enkelt nummer döljer många olösta mysterier inom sig själv.
Euklids teorem säger att det finns ett oändligt antal primtal, och Eratosthenes uppfann en speciell aritmetisk "sil" som eliminerar icke-primtal och lämnar bara enkla.
Dess kärna är att understryka det första numret som inte är överstruket, och sedan stryka över de som är multiplar av det. Vi upprepar denna procedur många gånger - och vi får en tabell med primtal.
The Fundamental Theorem of Arithmetic
Bland observationerna om primtal bör aritmetikens grundsats nämnas på ett speciellt sätt.
Aritmetikens fundamentalsats säger att vilket heltal som helst som är större än 1 antingen är primtal, eller så kan det dekomponeras till en produkt av primtal upp till faktorernas ordning, och på ett unikt sätt.
Aritmetikens huvudsats har visat sig vara ganska besvärlig, och att förstå det ser inte längre ut som de enklaste grunderna.
Vid första anblicken är primtal ett elementärt begrepp, men det är de inte. Fysiken ansåg också en gång att atomen var elementär, tills den hittade hela universum inuti den. En underbar berättelse av matematikern Don Tzagir "The First Fifty Million Primes" är tillägnad primtal.
Från "tre äpplen" till deduktiva lagar
Det som verkligen kan kallas den förstärkta grunden för all vetenskap är aritmetikens lagar. Även i barndomen står alla inför aritmetik, studerar antalet ben och armar på dockor,antalet kuber, äpplen etc. Det är så vi studerar aritmetik, som sedan går in på mer komplexa regler.
Hela vårt liv bekantar oss med aritmetikens regler, som för gemene man har blivit den mest användbara av allt som vetenskapen ger. Studiet av siffror är "arithmetic-baby", som introducerar en person till siffrornas värld i form av siffror i tidig barndom.
Högre aritmetik är en deduktiv vetenskap som studerar aritmetikens lagar. Vi känner till de flesta av dem, även om vi kanske inte känner till deras exakta ordalydelse.
Lagen om addition och multiplikation
Två valfria naturliga tal a och b kan uttryckas som en summa a+b, som också blir ett naturligt tal. Följande lagar gäller för tillägg:
- Kommutativ, som säger att summan inte ändras från omordningen av termer, eller a+b=b+a.
- Associativ, som säger att summan inte beror på hur termerna är grupperade på platser, eller a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Räknereglerna, som addition, är bland de mest elementära, men de används av alla vetenskaper, för att inte tala om vardagen.
Två valfria naturliga tal a och b kan uttryckas som en produkt ab eller ab, som också är ett naturligt tal. Samma kommutativa och associativa lagar gäller för produkten som för tillägg:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Jag undraratt det finns en lag som förenar addition och multiplikation, även kallad en distributiv eller distributiv lag:
a(b+c)=ab+ac
Denna lag lär oss faktiskt att arbeta med parenteser genom att utöka dem, så att vi kan arbeta med mer komplexa formler. Det här är lagarna som kommer att vägleda oss genom algebras bisarra och komplexa värld.
Lagen om aritmetisk ordning
Ordningslagen används av mänsklig logik varje dag, där man jämför klockor och räknar sedlar. Och ändå måste den formaliseras i form av specifika formuleringar.
Om vi har två naturliga tal a och b, är följande alternativ möjliga:
- a är lika med b, eller a=b;
- a är mindre än b, eller a < b;
- a är större än b, eller a > b.
Av tre alternativ kan bara ett vara rättvist. Grundlagen som styr ordningen säger: om a < b och b < c, då a< c.
Det finns också lagar om ordningsföljd för multiplikation och addition: om a< är b, då a + c < b+c och ac< bc.
Aritmetikens lagar lär oss att arbeta med siffror, tecken och parenteser och förvandlar allt till en harmonisk symfoni av siffror.
Positionell och icke-positionskalkyl
Man kan säga att siffror är ett matematiskt språk, vars bekvämlighet mycket beror på. Det finns många talsystem som, liksom alfabeten i olika språk, skiljer sig från varandra.
Låt oss betrakta talsystemen utifrån positionens inverkan på det kvantitativa värdetnummer i denna position. Så till exempel är det romerska systemet icke-positionellt, där varje nummer är kodat av en viss uppsättning speci altecken: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. De är lika med siffrorna 1. / 5/10/50/100/500/ 1000. I ett sådant system ändrar inte numret sin kvantitativa definition beroende på vilken position det är i: första, andra, etc. För att få andra tal måste du lägga till basen. Till exempel:
- DCC=700.
- CCM=800.
Siffersystemet som är mer bekant för oss med arabiska siffror är positionellt. I ett sådant system bestämmer siffran i ett nummer antalet siffror, till exempel tresiffriga nummer: 333, 567, etc. Vikten av valfri siffra beror på positionen där den eller den siffran finns, till exempel har siffran 8 i den andra positionen värdet 80. Detta är typiskt för decimalsystemet, det finns andra positionssystem, till exempel, binär.
Binär aritmetik
Vi är bekanta med decimalsystemet, som består av ensiffriga tal och flersiffriga. Siffran till vänster om ett flersiffrigt nummer är tio gånger mer signifikant än det till höger. Så vi är vana vid att läsa 2, 17, 467, etc. Avsnittet som kallas "binär aritmetik" har en helt annan logik och tillvägagångssätt. Detta är inte förvånande, eftersom binär aritmetik skapades inte för mänsklig logik, utan för datorlogik. Om aritmetiken av siffror härrörde från räkningen av objekt, som abstraherades vidare från objektets egenskaper till "bar" aritmetik, kommer detta inte att fungera med en dator. Att kunna delamed sina kunskaper om en dator var en person tvungen att uppfinna en sådan modell av kalkyl.
Binär aritmetik fungerar med det binära alfabetet, som endast består av 0 och 1. Och användningen av detta alfabet kallas det binära systemet.
Skillnaden mellan binär aritmetik och decimal aritmetik är att betydelsen av positionen till vänster inte längre är 10, utan 2 gånger. Binära tal har formen 111, 1001, etc. Hur förstår man sådana tal? Så tänk på siffran 1100:
- Den första siffran till vänster är 18=8, kom ihåg att den fjärde siffran, vilket betyder att den måste multipliceras med 2, får vi position 8.
- Andra siffran 14=4 (position 4).
- Tredje siffran 02=0 (position 2).
- Fjärde siffran 01=0 (position 1).
- Så vårt nummer är 1100=8+4+0+0=12.
Det vill säga, när man flyttar till en ny siffra till vänster, multipliceras dess betydelse i det binära systemet med 2, och i decimal - med 10. Ett sådant system har ett minus: det är en för stor ökning av siffror som behövs för att skriva siffror. Exempel på att representera decim altal som binära tal finns i följande tabell.
Decim altal i binär form visas nedan.
Både oktala och hexadecimala system används också.
Denna mystiska aritmetik
Vad är aritmetik, "två gånger två" eller outforskade siffrors mysterier? Som du kan se kan aritmetiken tyckas enkel vid första anblicken, men dess otydliga lätthet är vilseledande. Det kan också studeras av barn tillsammans med moster Uggla fråntecknad "Arithmetic-baby", och du kan fördjupa dig i djupt vetenskaplig forskning av nästan filosofisk ordning. I historien har hon gått från att räkna föremål till att dyrka skönheten i siffror. Endast en sak är säker: med upprättandet av aritmetikens grundläggande postulat kan all vetenskap lita på dess starka axel.
