För att göra det lättare för läsaren att föreställa sig vad en hyperboloid är - ett tredimensionellt objekt - måste du först överväga den krökta hyperbeln med samma namn, som passar in i ett tvådimensionellt utrymme.
En hyperbel har två axlar: den verkliga, som i denna figur sammanfaller med abskissaxeln, och den imaginära, med y-axeln. Om du ment alt börjar vända ekvationen för en hyperbol runt sin imaginära axel, så kommer ytan "sedda" av kurvan att vara en enkelarkshyperboloid.
Om vi däremot börjar rotera hyperbeln runt sin verkliga axel på detta sätt, så kommer var och en av de två "halvorna" av kurvan att bilda sin egen separata yta, och tillsammans kallas den en två- arkad hyperboloid.
Erhållna genom att rotera motsvarande plankurva kallas de respektive rotationshyperboloider. De har parametrar i alla riktningar vinkelräta mot rotationsaxeln,som hör till den roterade kurvan. I allmänhet är detta inte fallet.
Hyperboloidekvation
I allmänhet kan en yta definieras av följande ekvationer i kartesiska koordinater(x, y, z):
I fallet med en rotationshyperboloid uttrycks dess symmetri kring axeln runt vilken den roterade i koefficienterna a=b.
Hyperboloidegenskaper
Han har ett trick. Vi vet att kurvor på ett plan har fokus - i fallet med en hyperbel, till exempel, modulen för skillnaden i avstånd från en godtycklig punkt på en hyperbel till en fokus och den andra är konstant per definition, faktiskt, av fokus poäng.
När man flyttar till ett tredimensionellt rum ändras definitionen praktiskt taget inte: foci är återigen två punkter, och skillnaden i avstånd från dem till en godtycklig punkt som hör till hyperboloidytan är konstant. Som du kan se dök endast den tredje koordinaten upp från ändringarna för alla möjliga punkter, för nu är de satta i rymden. Generellt sett är att definiera ett fokus likvärdigt med att identifiera typen av kurva eller yta: genom att prata om hur ytans punkter är placerade i förhållande till brännpunkterna svarar vi faktiskt på frågan om vad en hyperboloid är och hur den ser ut.
Det är värt att komma ihåg att en hyperbel har asymptoter - raka linjer, till vilka dess grenar tenderar till oändlighet. Om man, när man konstruerar en revolutionshyperboloid, ment alt roterar asymptoterna tillsammans med hyperbolen, så får man förutom hyperboloiden även en kon som kallas asymptotisk. Den asymptotiska konen ärför hyperboloider med ett och två ark.
En annan viktig egenskap som endast en enbladig hyperboloid har är rätlinjiga generatorer. Som namnet antyder är dessa linjer, och de ligger helt på en given yta. Två rätlinjiga generatorer passerar genom varje punkt i en hyperboloid med ett ark. De tillhör två linjefamiljer, som beskrivs av följande ekvationssystem:
Därmed kan en hyperboloid med ett ark helt och hållet bestå av ett oändligt antal raka linjer av två familjer, och varje linje i en av dem kommer att skära med alla linjer i den andra. Ytor som motsvarar sådana egenskaper kallas reglade; de kan konstrueras genom att rotera en rak linje. Definition genom det inbördes arrangemanget av linjer (rätlinjiga generatorer) i rymden kan också tjäna som en entydig beteckning på vad en hyperboloid är.
Intressanta egenskaper hos en hyperboloid
Andra ordningens kurvor och deras motsvarande rotationsytor har var och en intressanta optiska egenskaper förknippade med foci. I fallet med en hyperboloid formuleras detta enligt följande: om en stråle avfyras från ett fokus kommer den, efter att ha reflekterats från närmaste "vägg", att ta en sådan riktning som om den kom från det andra fokuset.
Hyperboloider i livet
Sannolikt började de flesta läsare sin bekantskap med analytisk geometri och andra ordningens ytor från en science fiction-roman av Alexei Tolstoy"Hyperboloid ingenjör Garin". Författaren själv visste dock inte väl vad en hyperboloid var, eller offrade noggrannhet för konstnärlighetens skull: den beskrivna uppfinningen, i termer av fysiska egenskaper, är snarare en paraboloid som samlar alla strålar i ett fokus (medan optiska egenskaper hos hyperboloiden är förknippade med spridningen av strålar).
De så kallade hyperboloidstrukturerna är mycket populära inom arkitektur: dessa är strukturer som har formen av en enkelarkshyperboloid eller en hyperbolisk paraboloid. Faktum är att endast dessa rotationsytor av andra ordningen har rätlinjiga generatorer: således kan en krökt struktur endast byggas från raka balkar. Fördelarna med sådana strukturer är förmågan att motstå tunga belastningar, till exempel från vinden: hyperboloidformen används vid konstruktion av höga strukturer, till exempel tv-torn.
