I en skalenlig version är en modell en sorts bild, diagram, karta, beskrivning, bild av ett visst fenomen eller process. Fenomenet i sig kallas originalet av en matematisk eller ekonomisk modell.
Vad är modellering?
Modellering är studiet av något objekt, system. För dess implementering byggs och analyseras en modell.
Alla stadier av modellering involverar ett vetenskapligt experiment, vars föremål är en abstrakt eller subjektsmodell. När man genomför ett experiment ersätts ett specifikt fenomen med ett schema eller en förenklad modell (kopia). I vissa fall sammanställs en arbetsmodell för att förstå arbetsmekanismen med hjälp av dess exempel, för att analysera den ekonomiska genomförbarheten av att introducera erfarenhetsresultat i en marknadsekonomi. Samma fenomen kan övervägas av olika modeller.
Forskaren måste välja de nödvändiga stegen i modelleringen, använda dem optim alt. Användningen av modeller är relevant i de fall ett verkligt föremål inte är tillgängligt, eller experiment med det är förknippat med allvarliga miljöproblem. Den nuvarande modellen tillämpas också i situationer där ett verkligt experimentinnebär betydande materialkostnader.
Funktioner i matematisk modellering
Matematiska modeller är oumbärliga i vetenskapen, liksom verktyg för dem - matematiska begrepp. Under loppet av flera årtusenden ackumulerades och moderniserades de. I modern matematik finns det universella och kraftfulla sätt att forska på. Alla föremål som anses av "vetenskapernas drottning" är en matematisk modell. För en detaljerad analys av det valda objektet väljs stadierna av matematisk modellering. Med deras hjälp särskiljs detaljer, särdrag, karakteristiska särdrag, den mottagna informationen systematiseras och en fullständig beskrivning av objektet görs.
Matematisk formalisering innebär att under forskning arbeta med speciella begrepp: matris, funktion, derivata, antiderivata, tal. De relationer och samband som kan hittas i objektet som studeras mellan de ingående elementen och detaljerna registreras av matematiska relationer: ekvationer, ojämlikheter, likheter. Som ett resultat erhålls en matematisk beskrivning av ett fenomen eller en process, och följaktligen dess matematiska modell.
Regler för att studera en matematisk modell
Det finns en viss ordning av modelleringssteg som gör att du kan upprätta kopplingar mellan effekter och orsaker. Det centrala steget i designen eller studien av systemet är konstruktionen av en fullfjädrad matematisk modell. Den ytterligare analysen av detta objekt beror direkt på kvaliteten på de utförda åtgärderna. Byggnadmatematisk eller ekonomisk modell är inte en formell procedur. Det ska vara lätt att använda, korrekt, så att det inte finns några förvrängningar i resultaten av analysen.
Om klassificeringen av matematiska modeller
Det finns två varianter: deterministiska och stokastiska modeller. Deterministiska modeller involverar upprättandet av en en-till-en-överensstämmelse mellan variabler som används för att beskriva ett fenomen eller objekt.
Det här tillvägagångssättet är baserat på information om principen för objektets funktion. I många fall har fenomenet som modelleras en komplex struktur, och det tar mycket tid och kunskap att dechiffrera det. I sådana situationer väljs sådana modelleringsstadier som gör det möjligt att utföra experiment på originalet, bearbeta de erhållna resultaten utan att gå in på objektets teoretiska egenskaper. Används oftast statistik och sannolikhetsteori. Resultatet är en stokastisk modell. Det finns ett slumpmässigt samband mellan variablerna. Ett stort antal olika faktorer orsakar en slumpmässig uppsättning variabler som kännetecknar ett fenomen eller ett objekt.
Moderna modelleringssteg gäller statiska och dynamiska modeller. I statiska vyer innebär beskrivningen av sambanden mellan variablerna för det skapade fenomenet inte att man tar hänsyn till förändringen i tid för huvudparametrarna. För dynamiska modeller utförs beskrivningen av samband mellan variabler med hänsyn till tillfälliga förändringar.
Sorter av modeller:
- kontinuerlig;
- diskret;
- mixed
Olika stadier av matematisk modellering gör det möjligt att beskriva samband och funktioner i linjära modeller med hjälp av en direkt koppling av variabler.
Vilka är kraven för modeller?
- Mångsidighet. Modellen måste vara en fullständig representation av alla egenskaper som är inneboende i det verkliga objektet.
- Adequacy. Viktiga egenskaper hos objektet får inte överstiga det angivna felet.
- Noggrannhet. Det kännetecknar graden av sammanträffande av egenskaperna hos ett objekt som existerar i verkligheten med liknande parametrar som erhållits under studiet av modellen.
- Ekonomi. Modellen bör vara minimal när det gäller materialkostnader.
Modelleringssteg
Låt oss överväga huvudstadierna av matematisk modellering.
Välja en uppgift. Syftet med studien väljs, metoder för dess genomförande väljs och en experimentstrategi tas fram. Detta skede innebär seriöst arbete. Det slutliga resultatet av simuleringen beror på hur korrekt uppgiften är
- Analys av de teoretiska grunderna, summering av informationen om objektet. Detta steg involverar valet eller skapandet av en teori. I avsaknad av teoretisk kunskap om objektet etableras orsakssamband mellan alla variabler som v alts för att beskriva fenomenet eller objektet. I detta skede bestäms de initiala och slutliga uppgifterna och en hypotes läggs fram.
- Formalisering. Genomförtvalet av ett system med speciell notation som hjälper till att skriva i form av matematiska uttryck förhållandet mellan komponenterna i objektet i fråga.
Tillägg till algoritmen
Efter inställning av modellparametrarna väljs en viss metod eller lösningsmetod.
- Implementering av den skapade modellen. Efter att stadierna av systemmodellering har v alts skapas ett program som testas och tillämpas för att lösa problemet.
- Analyse av insamlad information. En analogi dras mellan uppgiften och den erhållna lösningen, och modelleringsfelet bestäms.
- Kontrollerar om modellen matchar det verkliga objektet. Om det finns en betydande skillnad mellan dem utvecklas en ny modell. Tills den ideala överensstämmelsen mellan modellen och dess verkliga motsvarighet erhålls, utförs förfining och förändring av detaljer.
Simuleringsegenskaper
I mitten av förra seklet dök datorteknik upp i en modern människas liv, relevansen av matematiska metoder för att studera föremål och fenomen ökade. Sådana avsnitt som "matematisk kemi", "matematisk lingvistik", "matematisk ekonomi", som handlar om studier av fenomen och föremål, dök upp, huvudstadierna av modellering skapades.
Deras huvudsakliga mål var att förutsäga planerade observationer, att studera vissa objekt. Dessutom kan du med hjälp av modellering lära dig om världen omkring dig, leta efter sätt att kontrollera den. Ett datorexperiment är tänkt att utföras i de fall dåden riktiga fungerar inte. Efter att ha konstruerat en matematisk modell av fenomenet som studeras, med hjälp av datorgrafik, kan man studera kärnvapenexplosioner, pestepidemier, etc.
Specialister särskiljer tre stadier av matematisk modellering, och var och en har sina egna egenskaper:
- Bygga en modell. Detta steg innebär att sätta en ekonomisk plan, naturfenomen, konstruktion, produktionsprocess. Det är svårt att tydligt beskriva situationen i detta fall. Först måste du identifiera detaljerna för fenomenet, för att bestämma förhållandet mellan det och andra objekt. Sedan översätts alla kvalitativa egenskaper till matematiskt språk, och en matematisk modell byggs upp. Detta steg är det svåraste i hela modelleringsprocessen.
- Stedet för att lösa ett matematiskt problem i samband med utvecklingen av algoritmer, metoder för att lösa ett problem på datorteknik, identifiera mätfel.
- Översätta information som erhållits under forskning till språket i det område för vilket experimentet utfördes.
Dessa tre stadier av matematisk modellering kompletteras genom att kontrollera om den resulterande modellen är tillräcklig. En kontroll görs av överensstämmelsen mellan de resultat som erhållits i försöket med teoretisk kunskap. Om det behövs, ändra den skapade modellen. Det är komplicerat eller förenklat, beroende på resultaten.
Funktioner för ekonomisk modellering
3 stadier av matematisk modellering involverar användning av algebraiska differentialsystemekvationer. Komplexa objekt byggs med hjälp av grafteori. Det involverar en uppsättning punkter i rymden eller på ett plan, delvis förbundna med kanter. De viktigaste stadierna av ekonomisk modellering involverar val av resurser, deras fördelning, redovisning av transporter, nätverksplanering. Vilken åtgärd är inte ett modelleringssteg? Det är svårt att besvara denna fråga entydigt, allt beror på den specifika situationen. Huvudstadierna i modelleringsprocessen innefattar formuleringen av målet och ämnet för forskningen, identifieringen av de viktigaste egenskaperna för att uppnå målet och beskrivningen av förhållandet mellan modellfragment. Utför sedan beräkningar med matematiska formler.
Till exempel är serviceteori köproblemet. Det är viktigt att hitta en balans mellan kostnaden för att underhålla enheter och kostnaden för att stå i kö. Efter att ha konstruerat en formell beskrivning av modellen, utförs beräkningar med hjälp av beräknings- och analytiska tekniker. Med en kvalitativ sammanställning av modellen kan du hitta svar på alla frågor. Om modellen är dålig är det omöjligt att förstå vilken åtgärd som inte är ett modelleringssteg.
Praktiskhet är ett sant kriterium för att bedöma om ett fenomen eller en modell är lämplig. Multikriteriemodeller, inklusive optimerings alternativ, involverar målsättning. Men sättet att uppnå detta mål är annorlunda. Bland de svårigheter som är möjliga i processen bör vi lyfta fram:
- i ett komplext system finns det fleraslipsar;
- det är svårt att ta hänsyn till alla slumpmässiga faktorer när man analyserar ett riktigt system;
- det är problematiskt att jämföra den matematiska apparaten med de resultat du vill få
På grund av de många komplexiteten som uppstår i processen att studera mångfacetterade system har simuleringsmodellering utvecklats. Det förstås som en uppsättning speciella program för datorteknik, som beskriver driften av enskilda delar av systemet och förhållandet mellan dem. Användningen av slumpvariabler innebär upprepade upprepningar av experiment, statistisk bearbetning av resultaten. Att arbeta med ett simuleringssystem är ett experiment som genomförs med hjälp av datateknik. Vilka är fördelarna med detta system? På så sätt är det möjligt att uppnå större närhet till det ursprungliga systemet, vilket är omöjligt när det gäller en matematisk modell. Med hjälp av blockprincipen kan du analysera enskilda block innan de ingår i ett enda system. Det här alternativet låter dig använda komplexa samband som inte kan beskrivas med vanliga matematiska samband.
Bland nackdelarna med att bygga ett simuleringssystem lyfter vi fram kostnaden för tid och resurser, samt behovet av att använda modern datorteknik.
Utvecklingsstadierna för modellering är jämförbara med de förändringar som sker i samhället. Beroende på användningsområde är alla modeller uppdelade i träningsprogram, simulatorer, undervisning och visuella hjälpmedel. Experimentella modeller kan vara reducerade kopior av verkliga föremål (bilar). Vetenskapliga och tekniska alternativär montrar skapade för analys av elektronisk utrustning. Simuleringsmodeller speglar inte bara den verkliga verkligheten, de involverar testning på laboratoriemöss, experiment i utbildningssystemet. Imitation ses som en metod för försök och misstag.
Det finns en uppdelning av alla modeller enligt presentationsvarianten. Materialmodeller kallas ämne. Sådana alternativ är utrustade med de geometriska och fysiska egenskaperna hos själva originalet, de kan översättas till verklighet. Informationsmodeller kan inte röras med händerna. De karakteriserar tillståndet och egenskaperna hos det studerade objektet, fenomenet, processen och deras samband med den verkliga världen. Verbala alternativ involverar informationsmodeller som implementeras i en vardaglig eller mental form. Teckentyper uttrycks genom att använda vissa tecken på ett polyedriskt matematiskt språk.
Slutsats
Matematisk modellering som en metod för vetenskaplig kunskap dök upp samtidigt med grunderna för högre matematik. En viktig roll i denna process spelades av I. Newton, R. Descartes, G. Leibniz. Matematiska modeller byggdes först av P. Fermat, B. Pascal. V. V. Leontiev, V. V. Novozhilov, A. L. Lurie uppmärksammade matematisk modellering i produktion och ekonomi. Nuförtiden används ett liknande alternativ för att studera ett objekt eller fenomen inom olika verksamhetsområden. Med hjälp av designade system utforskar ingenjörer sådana fenomen och processer som inte kan analyseras i verkliga förhållanden.
Vetenskaplig forskninggenom modellering användes de i antiken och fångar över tiden olika typer av vetenskaplig kunskap: arkitektur, design, kemi, konstruktion, fysik, biologi, ekologi, geografi, såväl som samhällsvetenskap. I alla modelleringsprocesser används tre komponenter: subjekt, objekt, modell. Naturligtvis är studiet av ett objekt eller fenomen inte begränsat till modellering, det finns andra sätt att få den nödvändiga informationen.
