Olösbara problem är de 7 mest intressanta matematiska problemen. Var och en av dem föreslogs på en gång av välkända forskare, som regel i form av hypoteser. I många decennier har matematiker över hela världen tjatat om sin lösning. De som lyckas kommer att belönas med en miljon US-dollar som erbjuds av Clay Institute.
Backstory
År 1900 presenterade den store tyske matematikern David Hilbert en lista med 23 problem.
Forskning som utfördes för att lösa dem hade en enorm inverkan på 1900-talets vetenskap. För tillfället har de flesta av dem upphört att vara mysterier. Bland de olösta eller delvis lösta fanns:
- problem med konsistens hos aritmetiska axiom;
- allmän lag om ömsesidighet på utrymmet i valfritt talfält;
- matematisk studie av fysiska axiom;
- studie av kvadratiska former för godtyckliga algebraiska numeriskaodds;
- problemet med rigorös motivering av Fyodor Schuberts beräkningsgeometri;
- etc.
Outforskade är: problemet med att utvidga den välkända Kronecker-satsen till valfri algebraisk region av rationalitet och Riemann-hypotesen.
The Clay Institute
Detta är namnet på en privat ideell organisation med huvudkontor i Cambridge, Massachusetts. Det grundades 1998 av Harvard-matematikern A. Jeffey och affärsmannen L. Clay. Institutets syfte är att popularisera och utveckla matematisk kunskap. För att uppnå detta ger organisationen utmärkelser till forskare och sponsrar lovande forskning.
I början av 2000-talet erbjöd Clay Institute of Mathematics ett pris till dem som löser vad som kallas de svåraste olösliga problemen, och kallade sin lista för Millennium Prize Problems. Endast Riemann-hypotesen ingick i Hilbert-listan.
Millennium Challenges
The Clay Institutes lista inkluderade ursprungligen:
- Hodge-cykelhypotes;
- kvant Yang-Mills teoriekvationer;
- Poincaré-hypotes;
- problemet med jämlikheten mellan klasserna P och NP;
- Riemanns hypotes;
- Navier-Stokes ekvationer, om existensen och smidigheten hos dess lösningar;
- Birch-Swinnerton-Dyer-problem.
Dessa öppna matematiska problem är av stort intresse, eftersom de kan ha många praktiska implementeringar.
Vad bevisade Grigory Perelman
År 1900 föreslog den berömda filosofen Henri Poincaré att varje enkelt sammankopplat kompakt 3-grenrör utan gräns är homeomorft till en 3-dimensionell sfär. Dess bevis i det allmänna fallet hittades inte på ett sekel. Först 2002-2003 publicerade S:t Petersburg-matematikern G. Perelman ett antal artiklar med en lösning på Poincaré-problemet. De hade effekten av en exploderande bomb. 2010 uteslöts Poincaré-hypotesen från Clay Institutes lista över "olösta problem", och Perelman erbjöds själv att få en betydande ersättning till honom, vilket den senare vägrade utan att förklara skälen till sitt beslut.
Den mest förståeliga förklaringen till vad den ryske matematikern lyckades bevisa kan ges genom att föreställa sig att en gummiskiva dras på en munk (torus), och sedan försöker de dra kanterna på dess cirkel till en punkt. Uppenbarligen är detta inte möjligt. En annan sak, om du gör det här experimentet med en boll. I det här fallet skulle en till synes tredimensionell sfär, som härrör från en skiva vars omkrets drogs till en punkt av en hypotetisk lina, vara tredimensionell i förståelsen av en vanlig människa, men tvådimensionell i termer av matematik.
Poincare föreslog att en tredimensionell sfär är det enda tredimensionella "objekt" vars yta kan dras samman till en punkt, och Perelman lyckades bevisa det. Således består listan över "olösbara problem" idag av 6 problem.
Yang-Mills teori
Det här matematiska problemet föreslogs av dess författare 1954. Den vetenskapliga formuleringen av teorin är följande:för vilken enkel kompakt gauge-grupp som helst existerar den rumsliga kvantteorin skapad av Yang och Mills, och har samtidigt en massdefekt på noll.
När man talar på ett språk som är förståeligt för en vanlig människa, delas interaktionerna mellan naturliga objekt (partiklar, kroppar, vågor, etc.) in i 4 typer: elektromagnetisk, gravitationell, svag och stark. I många år har fysiker försökt skapa en allmän fältteori. Det borde bli ett verktyg för att förklara alla dessa interaktioner. Yang-Mills teori är ett matematiskt språk med vilket det blev möjligt att beskriva 3 av naturens 4 huvudkrafter. Det gäller inte gravitationen. Därför kan det inte anses att Yang och Mills lyckades skapa en fältteori.
Dessutom gör de föreslagna ekvationernas icke-linjäritet dem extremt svåra att lösa. För små kopplingskonstanter kan de ungefärligen lösas i form av en serie störningsteorier. Det är dock ännu inte klart hur dessa ekvationer kan lösas med stark koppling.
Navier-Stokes ekvationer
Dessa uttryck beskriver processer som luftströmmar, vätskeflöde och turbulens. För vissa speciella fall har analytiska lösningar av Navier-Stokes ekvation redan hittats, men hittills har ingen lyckats göra detta för den allmänna. Samtidigt kan numeriska simuleringar för specifika värden av hastighet, densitet, tryck, tid och så vidare uppnå utmärkta resultat. Det återstår att hoppas att någon kommer att kunna tillämpa Navier-Stokes ekvationer omväntriktning, d.v.s. beräkna parametrarna med hjälp av dem, eller bevisa att det inte finns någon lösningsmetod.
Birch-Swinnerton-Dyer-problem
Kategorien "Olösta problem" inkluderar också hypotesen som föreslagits av brittiska forskare från University of Cambridge. Till och med för 2300 år sedan gav den antika grekiska vetenskapsmannen Euclid en fullständig beskrivning av lösningarna till ekvationen x2 + y2=z2.
Om vi för varje primtal räknar antalet punkter på kurvan modulo it, får vi en oändlig uppsättning heltal. Om du specifikt "limmar" den i 1 funktion av en komplex variabel, så får du Hasse-Weil zeta-funktionen för en tredje ordningens kurva, betecknad med bokstaven L. Den innehåller information om beteendet modulo alla primtal på en gång.
Brian Birch och Peter Swinnerton-Dyer gissade om elliptiska kurvor. Enligt den är strukturen och antalet av uppsättningen av dess rationella lösningar relaterade till beteendet hos L-funktionen vid identiteten. Den för närvarande oprövade Birch-Swinnerton-Dyer-förmodan beror på beskrivningen av 3:e gradens algebraiska ekvationer och är det enda relativt enkla allmänna sättet att beräkna rangordningen för elliptiska kurvor.
För att förstå den praktiska betydelsen av denna uppgift räcker det att säga att i modern kryptografi är en hel klass av asymmetriska system baserade på elliptiska kurvor, och inhemska digitala signaturstandarder är baserade på deras tillämpning.
Jämlikhet mellan klasserna p och np
Om resten av millennieutmaningarna är rent matematiska, så har den härförhållande till den faktiska teorin om algoritmer. Problemet angående jämlikheten i klasserna p och np, även känt som Cooke-Levin-problemet, kan formuleras på ett begripligt språk enligt följande. Antag att ett positivt svar på en viss fråga kan kontrolleras tillräckligt snabbt, d.v.s. i polynomtid (PT). Stämmer då påståendet att svaret på det kan hittas ganska snabbt? Ännu enklare låter det här problemet så här: är det verkligen inte svårare att kontrollera lösningen på problemet än att hitta det? Om likheten mellan klasserna p och np någonsin bevisas, kan alla urvalsproblem lösas för PV. För närvarande tvivlar många experter på sanningen i detta uttalande, även om de inte kan bevisa motsatsen.
Riemann-hypotes
Fram till 1859 hittades inget mönster som skulle beskriva hur primtal är fördelade mellan naturliga tal. Kanske berodde detta på att vetenskapen sysslade med andra frågor. Men i mitten av 1800-talet hade situationen förändrats, och de blev en av de mest relevanta som matematiken började ta itu med.
Riemannhypotesen, som dök upp under denna period, är antagandet att det finns ett visst mönster i fördelningen av primtal.
Idag tror många moderna vetenskapsmän att om det bevisas kommer det att bli nödvändigt att revidera många av de grundläggande principerna för modern kryptografi, som utgör grunden för en betydande del av mekanismerna för elektronisk handel.
Enligt Riemann-hypotesen, karaktärenfördelningen av primtal kan skilja sig väsentligt från vad som för närvarande antas. Faktum är att hittills har inget system upptäckts i fördelningen av primtal. Till exempel finns det problemet med "tvillingar", skillnaden mellan vilka är 2. Dessa tal är 11 och 13, 29. Andra primtal bildar kluster. Dessa är 101, 103, 107, etc. Forskare har länge misstänkt att sådana kluster finns bland mycket stora primtal. Om de hittas kommer styrkan hos moderna kryptonycklar att ifrågasättas.
Hodge-cykelhypotes
Detta fortfarande olösta problem formulerades 1941. Hodges hypotes föreslår möjligheten att approximera formen på vilket föremål som helst genom att "limma" ihop enkla kroppar av högre dimensioner. Denna metod har varit känd och framgångsrikt använt under lång tid. Det är dock inte känt i vilken utsträckning förenklingar kan göras.
Nu vet du vilka olösliga problem som finns för tillfället. De är föremål för forskning av tusentals forskare runt om i världen. Det återstår att hoppas att de kommer att lösas inom en snar framtid, och deras praktiska tillämpning kommer att hjälpa mänskligheten att gå in i en ny omgång av teknisk utveckling.
