Hexagon alt prisma och dess huvudsakliga egenskaper

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-02 17:56

Spatial geometri är studiet av prismor. Deras viktiga egenskaper är volymen i dem, ytan och antalet ingående element. I artikeln kommer vi att överväga alla dessa egenskaper för ett hexagon alt prisma.

Vilket prisma pratar vi om?

Ett hexagon alt prisma är en figur som bildas av två polygoner med sex sidor och sex vinklar, och sex parallellogram som förbinder de markerade hexagonerna till en enda geometrisk formation.

Figuren visar ett exempel på detta prisma.

Hexagonen markerad med rött kallas figurens bas. Uppenbarligen är antalet baser lika med två, och båda är identiska. De gulgröna ytorna på ett prisma kallas dess sidor. I figuren representeras de av kvadrater, men i allmänhet är de parallellogram.

Det sexkantiga prismat kan vara lutande och rakt. I det första fallet är vinklarna mellan basen och sidorna inte raka, i det andra är de lika med 90o. Dessutom kan detta prisma vara korrekt och felaktigt. Vanlig sexkantigprismat måste vara rakt och ha en regelbunden sexkant vid basen. Ovanstående prisma i figuren uppfyller dessa krav, så det kallas korrekt. Vidare i artikeln kommer vi endast att studera dess egenskaper, som ett allmänt fall.

Elements

För alla prisma är dess huvudelement kanter, ytor och hörn. Det sexkantiga prismat är inget undantag. Figuren ovan låter dig räkna antalet av dessa element. Så vi får 8 ytor eller sidor (två baser och sex laterala parallellogram), antalet hörn är 12 (6 hörn för varje bas), antalet kanter på ett hexagon alt prisma är 18 (sex laterala och 12 för baserna).

På 1750-talet etablerade Leonhard Euler (en schweizisk matematiker) för alla polyedrar, som inkluderar ett prisma, ett matematiskt förhållande mellan numren på de angivna elementen. Det här förhållandet ser ut så här:

antal kanter=antal ytor + antal hörn - 2.

Ovanstående siffror uppfyller denna formel.

Prismdiagonaler

Alla diagonaler i ett hexagon alt prisma kan delas in i två typer:

• de som ligger i ansiktets plan;
• de som hör till hela figurens volym.

Bilden nedan visar alla dessa diagonaler.

Det kan ses att D₁ är sidodiagonalen, D₂ och D₃ är diagonalerna hela prismat, D₄ och D_{5 - basens diagonaler.}

Längden på sidornas diagonaler är lika med varandra. Det är lätt att beräkna dem med den välkända Pythagoras sats. Låt a vara längden på sidan av hexagonen, b längden på sidokanten. Då har diagonalen längd:

D₁=√(a² + b^2).

Diagonal D₄ är också lätt att bestämma. Om vi minns att en regelbunden hexagon passar in i en cirkel med radien a, då är D_{4 diametern på denna cirkel, det vill säga vi får följande formel:}

D_4=2a.

Diagonal D₅baser är något svårare att hitta. För att göra detta, överväg en liksidig triangel ABC (se fig.). För honom är AB=BC=a, vinkeln ABC är 120^{o. Om vi sänker höjden från denna vinkel (det kommer också att vara bisektris och median), så kommer hälften av AC-basen att vara lika med:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

AC-sidan är diagonalen på D_{5, så vi får:}

D_5=AC=√3a.

Nu återstår det att hitta diagonalerna D₂och D_{3för ett regelbundet sexkantigt prisma. För att göra detta måste du se att de är hypotenuserna i motsvarande räta trianglar. Med hjälp av Pythagoras sats får vi:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Den största diagonalen för alla värden av a och b är alltsåD_2.

Yta

För att förstå vad som står på spel är det enklaste sättet att överväga utvecklingen av detta prisma. Det visas på bilden.

Det kan ses att för att bestämma arean av alla sidor av figuren i fråga är det nödvändigt att beräkna arean av fyrkanten och arean av hexagonen separat och sedan multiplicera dem med motsvarande heltal lika med antalet av varje n-gon i prismat, och lägg till resultaten. Hexagoner 2, rektanglar 6.

För arean av en rektangel får vi:

S_1=ab.

Då är den laterala ytan:

S_2=6ab.

För att bestämma arean av en hexagon är det enklaste sättet att använda motsvarande formel, som ser ut så här:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Genom att ersätta talet n lika med 6 i detta uttryck får vi arean av en hexagon:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Detta uttryck ska multipliceras med två för att få arean av prismats baser:

S_os=3√3a^2.

Det återstår att lägga till S_os och S_{2 för att få figurens totala yta:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Prismvolym

Efter formeln förarea av en hexagonal bas, att beräkna volymen i prismat i fråga är lika enkelt som att skala päron. För att göra detta behöver du bara multiplicera arean av benbas (hexagon) med höjden på figuren, vars längd är lika med längden på sidokanten. Vi får formeln:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Observera att produkten av basen och höjden ger värdet av volymen för absolut alla prisma, inklusive det sneda. Men i det senare fallet är beräkningen av höjden komplicerad, eftersom den inte längre kommer att vara lika med längden på sidoribban. När det gäller ett regelbundet hexagon alt prisma är värdet på dess volym en funktion av två variabler: sidorna a och b.