Studium av egenskaperna hos materiens gasaggregattillstånd är ett av de viktiga områdena inom modern fysik. Med tanke på gaser i mikroskopisk skala kan man få fram alla makroskopiska parametrar i systemet. Den här artikeln kommer att avslöja en viktig fråga om den molekylära kinetiska teorin om gaser: vad är Maxwell-fördelningen av molekyler i termer av hastigheter.
Historisk bakgrund
Idén om gas som ett system av mikroskopiska rörliga partiklar har sitt ursprung i antikens Grekland. Det tog mer än 1700 år för vetenskapen att utveckla den.
Grundaren av den moderna molekylär-kinetiska teorin (MKT) för gas är rimlig att överväga Daniil Bernoulli. År 1738 publicerade han ett verk som heter "Hydrodynamics". I den beskrev Bernoulli idéerna från MKT som har använts till denna dag. Så forskaren trodde att gaser är sammansatta av partiklar som rör sig slumpmässigt i alla riktningar. Många kollisionerpartiklar med kärlväggar uppfattas som närvaron av tryck i gaser. Partikelhastigheter är nära relaterade till systemets temperatur. Det vetenskapliga samfundet accepterade inte Bernoullis djärva idéer eftersom lagen om bevarande av energi ännu inte hade fastställts.
Därefter var många forskare engagerade i att bygga en kinetisk modell av gaser. Bland dem bör noteras Rudolf Clausius, som 1857 skapade en enkel gasmodell. I den ägnade forskaren särskild uppmärksamhet åt närvaron av translationella, rotations- och vibrationsgrader av frihet i molekyler.
I 1859, när han studerade Clausius arbete, formulerade James Maxwell den så kallade Maxwell-fördelningen över molekylära hastigheter. Faktum är att Maxwell bekräftade MKT:s idéer och backade upp dem med en matematisk apparat. Därefter generaliserade Ludwig Boltzmann (1871) slutsatserna av Maxwell-fördelningen. Han postulerade en mer allmän statistisk fördelning av molekyler över hastigheter och energier. Den är för närvarande känd som Maxwell-Boltzmann-distributionen.
Ideal gas. Grundläggande postulat för ILC
För att förstå vad Maxwell-distributionsfunktionen är måste du tydligt förstå de system för vilka denna funktion är tillämplig. Vi talar om en idealisk gas. Inom fysiken förstås detta begrepp som ett flytande ämne, som består av praktiskt taget dimensionslösa partiklar som inte har potentiell energi. Dessa partiklar rör sig med höga hastigheter, så deras beteende bestäms helt av kinetisk energi. Dessutom är avstånden mellan partiklarna för stora förjämfört med deras storlekar, så de senare försummas.
Ideala gaser beskrivs i MKT. Dess huvudsakliga postulat är följande:
- gassystem består av ett stort antal fria partiklar;
- partiklar rör sig slumpmässigt med olika hastigheter i olika riktningar längs raka banor;
- partiklar kolliderar med kärlväggar elastiskt (sannolikheten för att partiklar kolliderar med varandra är låg på grund av deras ringa storlek);
- Systemets temperatur bestäms unikt av partiklarnas genomsnittliga kinetiska energi, som bevaras i tiden om termodynamisk jämvikt etableras i systemet.
Maxwells distributionslag
Om en person hade ett instrument med vilket det var möjligt att mäta hastigheten på en enskild gasmolekyl, skulle han, efter att ha genomfört ett lämpligt experiment, bli förvånad. Experimentet skulle visa att varje molekyl i något gasformigt system rör sig med en helt godtycklig hastighet. I det här fallet, inom ramen för ett system i termisk jämvikt med omgivningen, skulle både mycket långsamma och mycket snabba molekyler detekteras.
Maxwells lag för hastighetsfördelning av gasmolekyler är ett verktyg som låter dig bestämma sannolikheten för att detektera partiklar med en given hastighet v i systemet som studeras. Motsvarande funktion ser ut så här:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
I detta uttryck, m -partikel (molekyl) massa, k - Boltzmanns konstant, T - absolut temperatur. Således, om den kemiska naturen hos partiklarna (värdet av m) är känd, så bestäms funktionen f(v) unikt av den absoluta temperaturen. Funktionen f(v) kallas sannolikhetstätheten. Om vi tar integralen från den för någon hastighetsgräns (v; v+dv), så får vi antalet partiklar Ni, som har hastigheter i det angivna intervallet. Följaktligen, om vi tar integralen av sannolikhetstätheten f(v) för hastighetsgränserna från 0 till ∞, så får vi det totala antalet molekyler N i systemet.
Grafisk representation av sannolikhetstätheten f(v)
Sannolikhetstäthetsfunktionen har en något komplex matematisk form, så det är inte lätt att representera dess beteende vid en given temperatur. Detta problem kan lösas om du avbildar det på en tvådimensionell graf. En schematisk vy av Maxwells distributionsdiagram visas nedan i figuren.
Vi ser att det börjar från noll, eftersom hastigheten v för molekyler inte kan ha negativa värden. Grafen slutar någonstans i området för höga hastigheter och faller mjukt till noll (f(∞)->0). Följande egenskap är också slående: den jämna kurvan är asymmetrisk, den minskar kraftigare för små hastigheter.
En viktig egenskap för beteendet hos sannolikhetstäthetsfunktionen f(v) är närvaron av ett uttalat maximum på den. Enligt den fysiska innebörden av funktionen motsvarar detta maximum det mest sannolika värdet av molekylernas hastigheter i gasensystem.
Viktiga hastigheter för funktionen f(v)
Sannolikhetstäthetsfunktionen f(v) och dess grafiska representation tillåter oss att definiera tre viktiga typer av hastighet.
Den första typen av hastighet som är uppenbar och som nämndes ovan är den mest sannolika hastigheten v1. På grafen motsvarar dess värde maximivärdet för funktionen f(v). Det är denna hastighet och värden nära den som kommer att ha de flesta av partiklarna i systemet. Det är inte svårt att beräkna det, för detta räcker det att ta den första derivatan med avseende på hastigheten för funktionen f(v) och likställa den med noll. Som ett resultat av dessa matematiska operationer får vi slutresultatet:
v1=√(2RT/M).
Här är R den universella gaskonstanten, M är molmassan av molekyler.
Den andra typen av hastighet är dess medelvärde för alla N-partiklar. Låt oss beteckna det v2. Den kan beräknas genom att integrera funktionen vf(v) över alla hastigheter. Resultatet av den noterade integrationen blir följande formel:
v2=√(8RT/(piM)).
Eftersom förhållandet är 8/pi>2 är medelhastigheten alltid något högre än den mest sannolika.
Varje person som kan lite om fysik förstår att medelhastigheten v2 för molekyler måste vara av stor betydelse i ett gassystem. Detta är dock ett felaktigt antagande. Mycket viktigare är RMS-hastigheten. Låt oss beteckna detv3.
Enligt definitionen är rot-medelkvadrathastighet summan av kvadraterna av de individuella hastigheterna för alla partiklar, dividerat med antalet av dessa partiklar, och taget som kvadratroten. Den kan beräknas för Maxwell-fördelningen om vi definierar integralen över alla hastigheter för funktionen v2f(v). Formeln för den genomsnittliga kvadratiska hastigheten kommer att ha formen:
v3=√(3RT/M).
Equality visar att denna hastighet är högre än v2 och v1 för alla gassystem.
Alla övervägda typer av hastigheter på Maxwell-distributionsgrafen ligger alltså antingen på extremum eller till höger om den.
Vikten av v3
Det noterades ovan att medelkvadrathastigheten är viktigare för att förstå de fysikaliska processerna och egenskaperna hos ett gassystem än den enkla medelhastigheten v2. Detta är sant, eftersom den kinetiska energin för en idealgas beror exakt på v3, och inte på v2.
Om vi betraktar en monoatomisk idealgas, så är följande uttryck sant för den:
mv32/2=3/2kT.
Här representerar varje del av ekvationen den kinetiska energin för en partikel med massan m. Varför innehåller uttrycket exakt värdet v3 och inte medelhastigheten v2? Mycket enkelt: när man bestämmer den kinetiska energin för varje partikel, kvadreras dess individuella hastighet v, sedan alla hastigheterläggs till och divideras med antalet partiklar N. Det vill säga, proceduren för att bestämma den kinetiska energin i sig leder till värdet på medelkvadrathastigheten.
Beroende av funktion f(v) på temperatur
Vi har fastställt ovan att sannolikhetstätheten för molekylära hastigheter unikt beror på temperaturen. Hur kommer funktionen att förändras om T ökas eller minskas? Diagrammet nedan hjälper dig att svara på den här frågan.
Det kan ses att uppvärmningen av det slutna systemet leder till utsmettning av toppen och dess förskjutning mot högre hastigheter. En ökning av temperaturen leder till en ökning av alla typer av hastigheter och till en minskning av sannolikhetstätheten för var och en av dem. Toppvärdet minskar på grund av bevarandet av antalet partiklar N i ett slutet system.
Nästa kommer vi att lösa ett par problem för att konsolidera det mottagna teoretiska materialet.
Problem med kvävemolekyler i luften
Det är nödvändigt att beräkna hastigheterna v1, v2 och v3 för luftkväve vid en temperatur av 300 K (cirka 27 oC).
Den molära massan av kväve N2 är 28 g/mol. Med hjälp av formlerna ovan får vi:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
problem med syretank
Syret i cylindern hade en viss temperatur T1. Sedan placerades ballongen i ett kallare rum. Hur kommer Maxwells hastighetsfördelningsdiagram för syremolekyler att förändras när systemet kommer till termodynamisk jämvikt?
Med tanke på teorin kan vi svara på frågan om problemet på detta sätt: värdena för alla typer av molekylers hastigheter kommer att minska, toppen av funktionen f(v) kommer att skifta till vänster, bli smalare och högre.
