Dessa geometriska former omger oss överallt. Konvexa polygoner kan vara naturliga, till exempel en bikaka, eller konstgjorda (konstgjorda). Dessa figurer används vid tillverkning av olika typer av beläggningar, i målning, arkitektur, dekorationer etc. Konvexa polygoner har egenskapen att alla deras punkter är på samma sida av en rät linje som passerar genom ett par angränsande hörn av denna geometriska figur. Det finns andra definitioner också. En polygon kallas konvex om den är placerad i ett enda halvplan i förhållande till en rät linje som innehåller en av dess sidor.
Konvexa polygoner
I loppet av elementär geometri beaktas alltid endast enkla polygoner. Att förstå alla egenskaper hos sådanageometriska former, är det nödvändigt att förstå deras natur. Till att börja med bör det förstås att vilken linje som helst kallas stängd, vars ändar sammanfaller. Dessutom kan figuren som bildas av den ha en mängd olika konfigurationer. En polygon är en enkel stängd streckad linje, där angränsande länkar inte är placerade på samma räta linje. Dess länkar och hörn är respektive sidor och hörn av denna geometriska figur. En enkel polylinje får inte ha självkorsningar.
Hjälpen av en polygon kallas intilliggande om de representerar ändarna på en av dess sidor. En geometrisk figur som har det n:te antalet hörn, och därmed det n:te antalet sidor, kallas en n-gon. Den streckade linjen i sig kallas gränsen eller konturen av denna geometriska figur. Ett polygon alt plan eller en platt polygon kallas änddelen av ett plan som begränsas av det. De intilliggande sidorna av denna geometriska figur kallas segment av en streckad linje som utgår från en vertex. De kommer inte att ligga intill om de kommer från olika hörn av polygonen.
Andra definitioner av konvexa polygoner
I elementär geometri finns det flera fler ekvivalenta definitioner som anger vilken polygon som kallas konvex. Alla dessa påståenden är lika sanna. En polygon anses vara konvex om:
• varje segment som förbinder två punkter inuti det ligger helt inom det;
• inuti denalla dess diagonaler ligger;
• någon inre vinkel överstiger inte 180°.
En polygon delar alltid ett plan i 2 delar. En av dem är begränsad (den kan vara innesluten i en cirkel), och den andra är obegränsad. Den första kallas den inre regionen, och den andra är den yttre regionen av denna geometriska figur. Denna polygon är en skärningspunkt (med andra ord en gemensam komponent) av flera halvplan. Dessutom tillhör varje segment som har slutar vid punkter som hör till polygonen helt och hållet till det.
Varianter av konvexa polygoner
Definitionen av en konvex polygon indikerar inte att det finns många typer av dem. Och var och en av dem har vissa kriterier. Så konvexa polygoner som har en inre vinkel på 180° kallas svagt konvexa. En konvex geometrisk figur som har tre hörn kallas en triangel, fyra - en fyrkant, fem - en femhörning, etc. Var och en av de konvexa n-gonerna uppfyller följande väsentliga krav: n måste vara lika med eller större än 3. trianglarna är konvexa. En geometrisk figur av denna typ, där alla hörn ligger på samma cirkel, kallas inskriven i en cirkel. En konvex polygon kallas omskriven om alla dess sidor nära cirkeln berör den. Två polygoner sägs vara lika endast om de kan överlagras genom överlagring. En plan polygon kallas ett polygon alt plan.(del av planet), som begränsas av denna geometriska figur.
Regulära konvexa polygoner
Regulära polygoner är geometriska former med lika vinklar och sidor. Inuti dem finns en punkt 0, som är på samma avstånd från var och en av dess hörn. Det kallas mitten av denna geometriska figur. Segmenten som förbinder centrum med hörnen på denna geometriska figur kallas apotemer, och de som förbinder punkt 0 med sidorna kallas radier.
En vanlig fyrhörning är en kvadrat. En liksidig triangel kallas en liksidig triangel. För sådana figurer finns följande regel: varje hörn av en konvex polygon är 180°(n-2)/ n, där n är antalet hörn i denna konvexa geometriska figur.
Arean för en vanlig polygon bestäms av formeln:
S=ph, där p är halva summan av alla sidor av den givna polygonen och h är längden på apotem.
Egenskaper för konvexa polygoner
Konvexa polygoner har vissa egenskaper. Så ett segment som förbinder två punkter i en sådan geometrisk figur är nödvändigtvis beläget i det. Bevis:
Antag att P är en given konvex polygon. Vi tar 2 godtyckliga punkter, till exempel A, B, som tillhör P. Enligt den befintliga definitionen av en konvex polygon är dessa punkter belägna på samma sida av linjen, som innehåller vilken sida som helst av P. Därför har AB också denna egenskap och ingår i P. En konvex polygon kan alltid delas upp i flera trianglar av absolut alla diagonaler som dras från en av dess hörn.
Vinklar med konvexa geometriska former
Hörnen på en konvex polygon är hörnen som bildas av dess sidor. Inre hörn är belägna i det inre området av en given geometrisk figur. Vinkeln som bildas av dess sidor som konvergerar vid en vertex kallas vinkeln för en konvex polygon. Vinklar som gränsar till de inre vinklarna i en given geometrisk figur kallas externa. Varje hörn av en konvex polygon som finns inuti den är:
180° - x, där x är värdet på den yttre vinkeln. Den här enkla formeln fungerar för alla geometriska former av den här typen.
I allmänhet gäller följande regel för yttre hörn: varje vinkel i en konvex polygon är lika med skillnaden mellan 180° och värdet på den inre vinkeln. Den kan ha värden från -180° till 180°. Därför, när den inre vinkeln är 120°, blir den yttre vinkeln 60°.
Summan av vinklar för konvexa polygoner
Summan av de inre vinklarna i en konvex polygon sätts av formeln:
180°(n-2), där n är antalet hörn i n-gonen.
Summan av vinklarna för en konvex polygon är ganska lätt att beräkna. Tänk på vilken geometrisk figur som helst. För att bestämma summan av vinklarna inuti en konvex polygon är det nödvändigtkoppla en av dess hörn till andra hörn. Som ett resultat av denna åtgärd erhålls (n-2) trianglar. Vi vet att summan av vinklarna i en triangel alltid är 180°. Eftersom deras antal i en polygon är (n-2), är summan av de inre vinklarna för en sådan figur 180° x (n-2).
Summan av vinklarna för en konvex polygon, nämligen två inre och angränsande yttre vinklar, för en given konvex geometrisk figur kommer alltid att vara lika med 180°. Baserat på detta kan du bestämma summan av alla dess vinklar:
180 x n.
Summan av de inre vinklarna är 180°(n-2). Baserat på detta sätts summan av alla yttre hörn av denna figur av formeln:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Summan av de yttre vinklarna för en konvex polygon kommer alltid att vara 360° (oavsett antalet sidor).
Den yttre vinkeln för en konvex polygon representeras i allmänhet av skillnaden mellan 180° och värdet på den inre vinkeln.
Andra egenskaper hos en konvex polygon
Utöver de grundläggande egenskaperna hos dessa geometriska former har de andra som uppstår när man manipulerar dem. Så, vilken som helst av polygonerna kan delas in i flera konvexa n-goner. För att göra detta är det nödvändigt att fortsätta var och en av dess sidor och skära denna geometriska figur längs dessa raka linjer. Det är också möjligt att dela upp vilken polygon som helst i flera konvexa delar på ett sådant sätt att hörnen på var och en av bitarna sammanfaller med alla dess hörn. Från en sådan geometrisk figur kan trianglar göras mycket enkelt genom att rita alladiagonaler från en vertex. Således kan vilken polygon som helst så småningom delas upp i ett visst antal trianglar, vilket visar sig vara mycket användbart för att lösa olika problem förknippade med sådana geometriska former.
Omkrets av en konvex polygon
Segment av en streckad linje, som kallas sidor av en polygon, betecknas oftast med följande bokstäver: ab, bc, cd, de, ea. Dessa är sidorna av en geometrisk figur med hörn a, b, c, d, e. Summan av längderna av alla sidor av denna konvexa polygon kallas dess omkrets.
Polygonomkrets
Konvexa polygoner kan inskrivas och omskrivas. En cirkel som berör alla sidor av denna geometriska figur kallas inskriven i den. En sådan polygon kallas omskriven. Mitten av en cirkel som är inskriven i en polygon är skärningspunkten för bisektrarna för alla vinklar inom en given geometrisk figur. Arean för en sådan polygon är:
S=pr, där r är radien för den inskrivna cirkeln och p är halvperimetern för den givna polygonen.
En cirkel som innehåller toppen av en polygon kallas omskriven runt den. Dessutom kallas denna konvexa geometriska figur inskriven. Cirkelns centrum, som är omskrivet kring en sådan polygon, är skärningspunkten för alla sidors så kallade vinkelräta bisektrar.
Diagonaler av konvexa geometriska former
Diagonalerna för en konvex polygon är segment somansluta icke-angränsande hörn. Var och en av dem ligger inuti denna geometriska figur. Antalet diagonaler för en sådan n-gon sätts av formeln:
N=n (n – 3)/ 2.
Antalet diagonaler i en konvex polygon spelar en viktig roll i elementär geometri. Antalet trianglar (K) som det är möjligt att dela varje konvex polygon i beräknas med följande formel:
K=n – 2.
Antalet diagonaler i en konvex polygon beror alltid på antalet hörn.
Dekomposition av en konvex polygon
I vissa fall, för att lösa geometriska problem, är det nödvändigt att dela upp en konvex polygon i flera trianglar med icke-korsande diagonaler. Detta problem kan lösas genom att härleda en specifik formel.
Definition av problemet: låt oss kalla en korrekt uppdelning av en konvex n-gon i flera trianglar med diagonaler som skär endast vid hörn av denna geometriska figur.
Lösning: Antag att Р1, Р2, Р3 …, Pn är hörn av denna n-gon. Numret Xn är numret på dess partitioner. Låt oss noggrant överväga den erhållna diagonalen för den geometriska figuren Pi Pn. I någon av de vanliga partitionerna tillhör P1 Pn en viss triangel P1 Pi Pn, som har 1<i<n. Om vi utgår från detta och antar att i=2, 3, 4 …, n-1, får vi (n-2) grupper av dessa partitioner, som inkluderar alla möjliga speciella fall.
Låt i=2 vara en grupp av vanliga partitioner som alltid innehåller diagonalen Р2 Pn. Antalet partitioner som anger det är detsamma som antalet partitioner(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Med andra ord är det lika med Xn-1.
Om i=3, kommer denna andra grupp av partitioner alltid att innehålla diagonalerna Р3 Р1 och Р3 Pn. I det här fallet kommer antalet vanliga partitioner som finns i denna grupp att sammanfalla med antalet partitioner för (n-2)-gon P3 P4 … Pn. Med andra ord kommer det att vara lika med Xn-2.
Låt i=4, då bland trianglarna kommer en vanlig partition säkerligen att innehålla en triangel P1 P4 Pn, till vilken fyrkanten P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn kommer att gränsa till. Antalet vanliga partitioner för en sådan fyrhörning är X4, och antalet partitioner för en (n-3)-gon är Xn-3. Baserat på det föregående kan vi säga att det totala antalet korrekta partitioner i denna grupp är Xn-3 X4. Andra grupper med i=4, 5, 6, 7… kommer att innehålla Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … vanliga partitioner.
Låt i=n-2, då blir antalet korrekta delningar i denna grupp detsamma som antalet delningar i gruppen där i=2 (med andra ord är lika med Xn-1).
Eftersom X1=X2=0, X3=1, X4=2…, då är antalet av alla partitioner i en konvex polygon:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Exempel:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Antal korrekta partitioner som skär en diagonal inuti
Vid kontroll av specialfall kan man komma fram tillantagandet att antalet diagonaler av konvexa n-goner är lika med produkten av alla partitioner av denna figur med (n-3).
Bevis för detta antagande: föreställ dig att P1n=Xn(n-3), då kan vilken n-gon som helst delas in i (n-2)-trianglar. Dessutom kan en (n-3)-fyrhörning vara sammansatt av dem. Tillsammans med detta kommer varje fyrhörning att ha en diagonal. Eftersom två diagonaler kan ritas i denna konvexa geometriska figur, betyder det att ytterligare (n-3) diagonaler kan ritas i valfri (n-3)-fyrhörning. Baserat på detta kan vi dra slutsatsen att det i vilken vanlig partition som helst är möjligt att rita (n-3)-diagonaler som uppfyller villkoren för detta problem.
Area av konvexa polygoner
Ofta, när man löser olika problem med elementär geometri, blir det nödvändigt att bestämma arean av en konvex polygon. Antag att (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n är sekvensen av koordinater för alla närliggande hörn av en polygon som inte har självskärningar. I det här fallet beräknas dess area med följande formel:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), where (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
