Triangel, kvadrat, hexagon – dessa figurer är kända för nästan alla. Men inte alla vet vad en vanlig polygon är. Men dessa är alla samma geometriska former. En vanlig polygon är en som har lika vinklar och sidor. Det finns många sådana figurer, men de har alla samma egenskaper, och samma formler gäller för dem.
Egenskaper för vanliga polygoner
Alla vanliga polygoner, vare sig det är en kvadrat eller en oktagon, kan skrivas in i en cirkel. Denna grundläggande egenskap används ofta när man konstruerar en figur. Dessutom kan en cirkel också inskrivas i en polygon. I det här fallet kommer antalet kontaktpunkter att vara lika med antalet sidor. Det är viktigt att en cirkel inskriven i en vanlig polygon har ett gemensamt centrum med sig. Dessa geometriska figurer är föremål för samma satser. Vilken sida som helstav en regelbunden n-gon är relaterad till radien R för cirkeln omskriven runt den. Därför kan den beräknas med följande formel: a=2R ∙ sin180°. Genom cirkelns radie kan du inte bara hitta sidorna utan även polygonens omkrets.
Hur man hittar antalet sidor i en vanlig polygon
Varje regelbunden n-gon består av ett visst antal segment som är lika med varandra, som när de är sammankopplade bildar en sluten linje. I det här fallet har alla hörn av den formade figuren samma värde. Polygoner är indelade i enkla och komplexa. Den första gruppen innehåller en triangel och en kvadrat. Komplexa polygoner har fler sidor. De inkluderar även stjärnformade figurer. För komplexa regelbundna polygoner hittas sidorna genom att skriva in dem i en cirkel. Låt oss ge ett bevis. Rita en vanlig polygon med ett godtyckligt antal sidor n. Beskriv en cirkel runt den. Ange radien R. Föreställ dig nu att någon n-gon är given. Om punkterna för dess vinklar ligger på en cirkel och är lika med varandra, kan sidorna hittas med formeln: a=2R ∙ sinα: 2.
Hitta antalet sidor i en inskriven regelbunden triangel
En liksidig triangel är en vanlig polygon. Samma formler gäller för den som för kvadraten och n-gonen. En triangel anses vara korrekt om den har lika långa sidor. I detta fall är vinklarna 60⁰. Konstruera en triangel med given sidolängd a. Att känna till dess median och höjd,du kan hitta värdet av dess sidor. För att göra detta kommer vi att använda metoden för att hitta genom formeln a \u003d x: cosα, där x är medianen eller höjden. Eftersom alla sidor i triangeln är lika får vi a=b=c. Då kommer följande påstående att vara sant a=b=c=x: cosα. På samma sätt kan du hitta värdet på sidorna i en likbent triangel, men x kommer att vara den givna höjden. Samtidigt bör det projiceras strikt på basen av figuren. Så när vi känner till höjden x, hittar vi sidan a i en likbent triangel med formeln a \u003d b \u003d x: cosα. Efter att ha hittat värdet på a kan du beräkna längden på basen c. Låt oss tillämpa Pythagoras sats. Vi letar efter värdet av halva basen c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Då c=2xtanα. Här är ett enkelt sätt att hitta antalet sidor av en inskriven polygon.
Beräkna sidorna av en kvadrat inskriven i en cirkel
Som alla andra inskrivna reguljära polygoner har en kvadrat lika sidor och vinklar. Samma formler gäller för den som för triangeln. Du kan beräkna sidorna av en kvadrat med hjälp av diagonalens värde. Låt oss överväga denna metod mer detaljerat. Det är känt att diagonalen halverar vinkeln. Ursprungligen var dess värde 90 grader. Efter divisionen bildas alltså två rätvinkliga trianglar. Deras basvinklar kommer att vara 45 grader. Följaktligen kommer varje sida av kvadraten att vara lika, det vill säga: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, där e är kvadratens diagonal, eller basen av den räta triangeln som bildas efter division. Det är inte det enda sättethitta sidorna på en kvadrat. Låt oss skriva in denna figur i en cirkel. När vi känner till radien för denna cirkel R, hittar vi sidan av kvadraten. Vi kommer att beräkna det på följande sätt a4=R√2. Radierna för reguljära polygoner beräknas med formeln R=a: 2tg (360o: 2n), där a är sidlängden.
Hur man beräknar omkretsen av en n-gon
Omkretsen av en n-gon är summan av alla dess sidor. Det är lätt att räkna ut det. För att göra detta måste du känna till alla sidors värden. För vissa typer av polygoner finns speciella formler. De låter dig hitta omkretsen mycket snabbare. Det är känt att varje vanlig polygon har lika sidor. Därför, för att beräkna dess omkrets, är det tillräckligt att känna till minst en av dem. Formeln beror på antalet sidor i figuren. I allmänhet ser det ut så här: P \u003d an, där a är värdet på sidan och n är antalet vinklar. Till exempel, för att hitta omkretsen av en vanlig oktagon med en sida på 3 cm, måste du multiplicera den med 8, det vill säga P=3 ∙ 8=24 cm. För en hexagon med en sida på 5 cm, beräknar vi enligt följande: P=5 ∙ 6=30 cm. Och så för varje polygon.
Hitta omkretsen av ett parallellogram, en kvadrat och en romb
Beroende på hur många sidor en vanlig polygon har, beräknas dess omkrets. Detta gör uppgiften mycket lättare. Till skillnad från andra figurer är det i det här fallet inte nödvändigt att leta efter alla dess sidor, bara en räcker. Enligt samma princip finner vi omkretsen vidfyrkanter, det vill säga en kvadrat och en romb. Trots att det är olika figurer är formeln för dem samma P=4a, där a är sidan. Låt oss ta ett exempel. Om sidan av en romb eller kvadrat är 6 cm, så hittar vi omkretsen enligt följande: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm. Ett parallellogram har bara motsatta sidor. Därför hittas dess omkrets med en annan metod. Så vi måste veta längden a och bredden b på figuren. Sedan tillämpar vi formeln P=(a + c) ∙ 2. Ett parallellogram, där alla sidor och vinklar mellan dem är lika, kallas en romb
Hitta omkretsen av en liksidig och rätvinklig triangel
Omkretsen av en regelbunden liksidig triangel kan hittas med formeln P=3a, där a är längden på sidan. Om den är okänd kan den hittas genom medianen. I en rätvinklig triangel är bara två sidor lika. Grunden kan hittas genom Pythagoras sats. Efter att värdena för alla tre sidorna blivit kända, beräknar vi omkretsen. Det kan hittas genom att tillämpa formeln P \u003d a + b + c, där a och b är lika sidor och c är basen. Kom ihåg att i en likbent triangel a \u003d b \u003d a, därför a + b \u003d 2a, sedan P \u003d 2a + c. Till exempel, sidan av en likbent triangel är 4 cm, hitta dess bas och omkrets. Vi beräknar hypotenusans värde med hjälp av Pythagoras sats c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm. Nu beräknar vi omkretsen Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
Hur man hittar hörnen på en vanlig polygon
Vanlig polygonförekommer i våra liv varje dag, till exempel en vanlig kvadrat, triangel, oktagon. Det verkar som att det inte finns något lättare än att bygga den här figuren själv. Men detta är bara vid första anblicken. För att konstruera någon n-gon måste du veta värdet på dess vinklar. Men hur hittar man dem? Även forskare från antiken försökte bygga vanliga polygoner. De gissade passa in dem i cirklar. Och sedan markerades de nödvändiga punkterna på den, förbundna med raka linjer. För enkla siffror är konstruktionsproblemet löst. Formler och satser har erhållits. Till exempel var Euclid i sitt berömda verk "The Beginning" engagerad i att lösa problem för 3-, 4-, 5-, 6- och 15-gons. Han hittade sätt att konstruera dem och hitta vinklar. Låt oss se hur man gör detta för en 15-gon. Först måste du beräkna summan av dess inre vinklar. Det är nödvändigt att använda formeln S=180⁰(n-2). Så vi får en 15-gon, vilket betyder att talet n är 15. Vi ersätter data vi känner till formeln och får S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Vi har hittat summan av alla inre vinklar för en 15-gon. Nu måste vi få värdet av var och en av dem. Det finns tot alt 15 vinklar. Vi gör beräkningen 2340⁰: 15=156⁰. Det betyder att varje inre vinkel är 156⁰, nu med hjälp av en linjal och en kompass kan du bygga en vanlig 15-gon. Men hur är det med mer komplexa n-goner? I århundraden har forskare kämpat för att lösa detta problem. Den hittades först på 1700-talet av Carl Friedrich Gauss. Han kunde bygga en 65537-gon. Sedan dess anses problemet officiellt vara helt löst.
Beräkning av vinklar för n-goneri radianer
Naturligtvis finns det flera sätt att hitta hörnen på polygoner. Oftast beräknas de i grader. Men du kan också uttrycka dem i radianer. Hur man gör det? Det är nödvändigt att fortsätta enligt följande. Först tar vi reda på antalet sidor av en vanlig polygon och subtraherar sedan 2. Så vi får värdet: n - 2. Multiplicera den hittade skillnaden med talet n ("pi"=3, 14). Nu återstår bara att dela den resulterande produkten med antalet vinklar i n-gonen. Betrakta dessa beräkningar med hjälp av exemplet med samma femtonsidiga. Så, talet n är 15. Använd formeln S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. Detta, naturligtvis, är inte det enda sättet att beräkna vinkel i radianer. Du kan helt enkelt dividera storleken på vinkeln i grader med siffran 57, 3. När allt kommer omkring är så många grader ekvivalenta med en radian.
Beräkna värdet på vinklar i grader
Förutom grader och radianer kan du försöka hitta värdet på vinklarna för en vanlig polygon i grader. Detta görs på följande sätt. Subtrahera 2 från det totala antalet vinklar, dividera den resulterande skillnaden med antalet sidor i en vanlig polygon. Vi multiplicerar det hittade resultatet med 200. Förresten, en sådan måttenhet för vinklar som hagel används praktiskt taget inte.
Beräkning av yttre vinklar för n-goner
För alla vanliga polygoner, förutom den interna, kan du också beräkna den yttre vinkeln. Dess värde återfinns på samma sätt som för andra figurer. Så för att hitta den yttre vinkeln för en vanlig polygon behöver dukänna innebörden av det inre. Vidare vet vi att summan av dessa två vinklar alltid är 180 grader. Därför gör vi beräkningarna enligt följande: 180⁰ minus värdet på den inre vinkeln. Vi hittar skillnaden. Det kommer att vara lika med värdet på vinkeln intill den. Till exempel är det inre hörnet av en kvadrat 90 grader, så den yttre vinkeln blir 180⁰ - 90⁰=90⁰. Som vi kan se är det inte svårt att hitta den. Den yttre vinkeln kan ha ett värde från +180⁰ till -180⁰ respektive.
