För många människor är matematisk analys bara en uppsättning obegripliga siffror, ikoner och definitioner som är långt ifrån det verkliga livet. Men den värld vi existerar i är byggd på numeriska mönster, vars identifiering hjälper inte bara att lära sig om världen omkring oss och lösa dess komplexa problem, utan också att förenkla vardagliga praktiska uppgifter. Vad menar en matematiker när han säger att en talföljd konvergerar? Detta bör diskuteras mer i detalj.
Vad är en infinitesimal?
Låt oss föreställa oss matryoshka-dockor som passar inuti varandra. Deras storlekar, skrivna i form av siffror, som börjar med den största och slutar med den minsta av dem, bildar en sekvens. Om du föreställer dig ett oändligt antal sådana ljusa figurer, kommer den resulterande raden att bli fantastiskt lång. Detta är en konvergent nummersekvens. Och det tenderar att bli noll, eftersom storleken på varje efterföljande häckande docka, katastrof alt minskande, gradvis förvandlas till ingenting. Så det är lättkan förklaras: vad är oändligt.
Ett liknande exempel skulle vara en väg som leder in i fjärran. Och de visuella dimensionerna av bilen som kör bort från betraktaren längs den, gradvis krymper, förvandlas till en formlös fläck som liknar en prick. Därmed blir maskinen, som ett föremål, som rör sig bort i en okänd riktning, oändligt liten. Parametrarna för den angivna kroppen kommer aldrig att vara noll i ordets bokstavliga bemärkelse, men tenderar alltid till detta värde i den slutliga gränsen. Därför konvergerar denna sekvens igen till noll.
Beräkna allt droppe för droppe
Låt oss nu föreställa oss en världslig situation. Läkaren ordinerade patienten att ta medicinen, börja med tio droppar om dagen och tillsätta två varje nästa dag. Och så föreslog läkaren att fortsätta tills innehållet i flaskan med medicin, vars volym är 190 droppar, tar slut. Av det föregående följer att antalet sådana, schemalagda per dag, kommer att vara följande nummerserier: 10, 12, 14 och så vidare.
Hur får man reda på tiden för att slutföra hela kursen och antalet medlemmar i sekvensen? Här kan man förstås räkna droppar på ett primitivt sätt. Men det är mycket lättare, givet mönstret, att använda formeln för summan av en aritmetisk progression med ett steg d=2. Och med den här metoden, ta reda på att antalet medlemmar i talserien är 10. I det här fallet, a10=28. Penisnumret anger antalet dagar för att ta medicinen och 28 motsvarar antalet droppar som patienten skaanvänd den sista dagen. Konvergerar denna sekvens? Nej, för trots att den är begränsad till 10 underifrån och 28 uppifrån, har en sådan nummerserie ingen gräns, till skillnad från de tidigare exemplen.
Vad är skillnaden?
Låt oss nu försöka klargöra: när nummerserien visar sig vara en konvergent sekvens. En definition av detta slag, som kan dras slutsats av ovanstående, är direkt relaterad till begreppet en ändlig gräns, vars närvaro avslöjar kärnan i frågan. Så vad är den grundläggande skillnaden mellan de tidigare givna exemplen? Och varför i den sista av dem kan siffran 28 inte anses vara gränsen för nummerserien X =10 + 2(n-1)?
För att förtydliga denna fråga, överväg en annan sekvens som ges av formeln nedan, där n hör till mängden naturliga tal.
Denna grupp av medlemmar är en uppsättning vanliga bråk, vars täljare är 1, och nämnaren ökar hela tiden: 1, ½ …
Dessutom närmar sig varje efterföljande representant för den här serien 0 mer och mer när det gäller placering på tallinjen. Och det betyder att en sådan grannskap visas där punkterna samlas runt noll, vilket är gränsen. Och ju närmare de är det, desto tätare blir deras koncentration på tallinjen. Och avståndet mellan dem minskar katastrof alt och förvandlas till ett oändligt litet. Detta är ett tecken på att sekvensen konvergerar.
LiknandeSåledes är de flerfärgade rektanglarna som visas i figuren, när de rör sig bort i rymden, visuellt mer trånga, i den hypotetiska gränsen förvandlas till försumbar.
Oändligt stora sekvenser
Efter att ha analyserat definitionen av en konvergent sekvens, låt oss gå vidare till motexempel. Många av dem har varit kända för människan sedan urminnes tider. De enklaste varianterna av divergerande sekvenser är serierna av naturliga och jämna tal. De kallas oändligt stora på ett annat sätt, eftersom deras medlemmar, som ständigt ökar, alltmer närmar sig positiv oändlighet.
Ett exempel på ett sådant kan också vara vilken som helst av de aritmetiska och geometriska följderna med steg respektive nämnare större än noll. Dessutom anses numeriska serier vara divergerande sekvenser, som inte har någon gräns alls. Till exempel, X =(-2) -1.
Fibonacci-sekvens
De praktiska fördelarna med den tidigare nämnda nummerserien för mänskligheten är obestridliga. Men det finns otaliga andra bra exempel. En av dem är Fibonacci-sekvensen. Var och en av dess medlemmar, som börjar med en, är summan av de föregående. Dess två första representanter är 1 och 1. Den tredje 1+1=2, den fjärde 1+2=3, den femte 2+3=5. Vidare följer, enligt samma logik, siffrorna 8, 13, 21 och så vidare.
Denna nummerserie ökar oändligt och har ingenslutlig gräns. Men den har en annan underbar egenskap. Förhållandet mellan varje föregående tal och nästa kommer närmare och närmare i sitt värde till 0,618. Här kan du förstå skillnaden mellan en konvergent och divergent sekvens, för om du gör en serie mottagna partiella divisioner kommer det angivna numeriska systemet att ha en ändlig gräns lika med 0,618.
Sekvens av Fibonacci-förhållanden
Sifferserien som anges ovan används ofta i praktiska syften för teknisk analys av marknader. Men detta är inte begränsat till dess kapacitet, som egyptierna och grekerna kände till och kunde omsätta i praktiken i antiken. Detta bevisas av pyramiderna de byggde och Parthenon. När allt kommer omkring är talet 0,618 en konstant koefficient för det gyllene snittet, välkänt i gamla dagar. Enligt denna regel kan vilket godtyckligt segment som helst delas upp så att förhållandet mellan dess delar kommer att sammanfalla med förhållandet mellan det största av segmenten och den totala längden.
Låt oss konstruera en serie av de angivna relationerna och försöka analysera denna sekvens. Nummerserien blir följande: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 och så vidare. Om vi fortsätter på detta sätt kan vi säkerställa att gränsen för den konvergerande sekvensen verkligen kommer att vara 0,618. Det är dock nödvändigt att notera andra egenskaper hos denna regelbundenhet. Här verkar siffrorna gå slumpmässigt, och inte alls i stigande eller fallande ordning. Detta betyder att denna konvergerande sekvens inte är monoton. Varför det är så kommer att diskuteras vidare.
Monotonicitet och begränsning
Medlemmar i nummerserien kan tydligt minska med ökande antal (om x1>x2>x3>…>x >…) eller ökande (om x1<x2<x3<…<x <…). I det här fallet sägs sekvensen vara strikt monoton. Andra mönster kan också observeras, där de numeriska serierna kommer att vara icke-minskande och icke-ökande (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… eller x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), då är den successivt konvergerande också monoton, bara inte i strikt mening. Ett bra exempel på det första av dessa alternativ är nummerserien som ges av följande formel.
När du har målat upp numren för den här serien kan du se att någon av dess medlemmar, som närmar sig 1 på obestämd tid, aldrig kommer att överstiga detta värde. I detta fall sägs den konvergerande sekvensen vara begränsad. Detta händer när det finns ett sådant positivt tal M, som alltid är större än någon av termerna i serien modulo. Om en nummerserie har tecken på monotoni och har en gräns och därför konvergerar, så är den nödvändigtvis utrustad med en sådan egenskap. Och motsatsen behöver inte vara sant. Detta bevisas av boundedness theoremet för en konvergent sekvens.
Tillämpningen av sådana observationer i praktiken är mycket användbar. Låt oss ge ett specifikt exempel genom att undersöka egenskaperna för sekvensen X =n/n+1, och bevisa dess konvergens. Det är lätt att visa att det är monotont, eftersom (x +1 – x) är ett positivt tal för alla n-värden. Gränsen för sekvensen är lika med talet 1, vilket innebär att alla villkor för ovanstående sats, även kallad Weierstrass-satsen, är uppfyllda. Satsen om begränsningen av en konvergent sekvens säger att om den har en gräns så visar sig den i alla fall vara begränsad. Men låt oss ta följande exempel. Nummerserien X =(-1) avgränsas underifrån av -1 och ovanifrån av 1. Men denna sekvens är inte monoton, har ingen gräns och konvergerar därför inte. Det vill säga att förekomsten av en gräns och konvergens inte alltid följer av begränsning. För att detta ska fungera måste de nedre och övre gränserna matcha, som i fallet med Fibonacci-kvoter.
Universums tal och lagar
De enklaste varianterna av en konvergent och divergent sekvens är kanske den numeriska serien X =n och X =1/n. Den första av dem är en naturlig serie av tal. Den är, som redan nämnts, oändligt stor. Den andra konvergenta sekvensen är avgränsad, och dess termer är nära oändliga i storlek. Var och en av dessa formler personifierar en av sidorna av det mångfacetterade universum, och hjälper en person att föreställa sig och beräkna något okänt, otillgängligt för begränsad uppfattning på språket med siffror och tecken.
Universums lagar, som sträcker sig från försumbara till otroligt stora, uttrycker också det gyllene snittet på 0,618.de tror att det är grunden för tingens väsen och används av naturen för att bilda dess delar. Relationerna mellan nästa och tidigare medlemmar i Fibonacci-serien, som vi redan har nämnt, fullbordar inte demonstrationen av de fantastiska egenskaperna hos denna unika serie. Om vi betraktar kvoten för att dividera föregående term med nästa genom en, så får vi en serie på 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 och så vidare. Det är intressant att denna begränsade sekvens konvergerar, den är inte monoton, men förhållandet mellan angränsande siffror från en viss medlem är alltid ungefär lika med 0,382, vilket också kan användas inom arkitektur, teknisk analys och andra industrier.
Det finns andra intressanta koefficienter i Fibonacci-serien, de spelar alla en speciell roll i naturen och används också av människan i praktiska syften. Matematiker är säkra på att universum utvecklas enligt en viss "gyllene spiral", bildad från de angivna koefficienterna. Med deras hjälp är det möjligt att beräkna många fenomen som förekommer på jorden och i rymden, allt från tillväxten av antalet vissa bakterier till rörelsen av avlägsna kometer. Det visar sig att DNA-koden följer liknande lagar.
Minskande geometrisk progression
Det finns ett teorem som hävdar att gränsen för en konvergent sekvens är unik. Det betyder att den inte kan ha två eller flera gränser, vilket utan tvekan är viktigt för att hitta dess matematiska egenskaper.
Låt oss titta på någrafall. Alla numeriska serier som består av medlemmar av en aritmetisk progression är divergerande, förutom fallet med ett nollsteg. Detsamma gäller för en geometrisk progression, vars nämnare är större än 1. Gränserna för sådana numeriska serier är "plus" eller "minus" av oändligheten. Om nämnaren är mindre än -1, så finns det ingen gräns alls. Andra alternativ är möjliga.
Tänk på nummerserien som ges av formeln X =(1/4) -1. Vid första anblicken är det lätt att se att denna konvergerande sekvens är begränsad eftersom den är strikt avtagande och inte på något sätt kapabel att ta negativa värden.
Låt oss skriva ett antal av dess medlemmar i rad.
Det kommer att visa sig: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 och så vidare. Det räcker med ganska enkla beräkningar för att förstå hur snabbt denna geometriska progression minskar från nämnarna 0<q<1. Medan termernas nämnare ökar oändligt, blir de själva oändligt små. Det betyder att gränsen för nummerserien är 0. Detta exempel visar återigen den begränsade karaktären hos den konvergenta sekvensen.
Fundamentala sekvenser
Augustin Louis Cauchy, en fransk vetenskapsman, avslöjade för världen många verk relaterade till matematisk analys. Han gav definitioner till sådana begrepp som differential, integral, gräns och kontinuitet. Han studerade också de grundläggande egenskaperna hos konvergenta sekvenser. För att förstå kärnan i hans idéer,några viktiga detaljer måste sammanfattas.
I början av artikeln visades det att det finns sådana sekvenser för vilka det finns en grannskap där punkterna som representerar medlemmarna i en viss serie på den verkliga linjen börjar klunga ihop sig och radas upp mer och mer tätt. Samtidigt minskar avståndet mellan dem när antalet nästa representant ökar och förvandlas till en oändligt liten. Således visar det sig att i ett givet område är ett oändligt antal representanter för en given serie grupperade, medan det utanför den finns ett ändligt antal av dem. Sådana sekvenser kallas fundamentala.
Det berömda Cauchy-kriteriet, skapat av en fransk matematiker, indikerar tydligt att närvaron av en sådan egenskap är tillräcklig för att bevisa att sekvensen konvergerar. Det omvända är också sant.
Det bör noteras att denna slutsats från den franske matematikern mest är av rent teoretiskt intresse. Dess tillämpning i praktiken anses vara en ganska komplicerad fråga, därför, för att klargöra konvergensen av serier, är det mycket viktigare att bevisa existensen av en ändlig gräns för en sekvens. Annars anses det vara divergerande.
När man löser problem bör man också ta hänsyn till de grundläggande egenskaperna hos konvergenta sekvenser. De visas nedan.
Oändliga summor
Sådana berömda vetenskapsmän från antiken som Arkimedes, Euklid, Eudoxus använde summan av oändliga talserier för att beräkna längden på kurvor, volymer av kropparoch områden av figurer. I synnerhet på detta sätt var det möjligt att ta reda på området för det paraboliska segmentet. För detta användes summan av de numeriska serierna av en geometrisk progression med q=1/4. Volymerna och ytorna för andra godtyckliga figurer hittades på liknande sätt. Detta alternativ kallades "utmattningsmetoden". Tanken var att den studerade kroppen, komplex till formen, bröts upp i delar, som var figurer med lätt uppmätta parametrar. Av denna anledning var det inte svårt att beräkna deras ytor och volymer, och sedan summerade de.
Förresten, liknande uppgifter är mycket välbekanta för moderna skolbarn och finns i USE-uppgifter. Den unika metoden, som hittats av avlägsna förfäder, är den absolut enklaste lösningen. Även om det bara finns två eller tre delar som den numeriska siffran är uppdelad i, är additionen av deras area fortfarande summan av talserien.
Mycket senare än de antika grekiska vetenskapsmännen Leibniz och Newton, baserat på erfarenheterna från sina kloka föregångare, lärde sig mönstren för integralberäkning. Kunskap om egenskaperna hos sekvenser hjälpte dem att lösa differentialekvationer och algebraiska ekvationer. För närvarande ger serieteorin, skapad av ansträngningar från många generationer av begåvade forskare, en chans att lösa ett stort antal matematiska och praktiska problem. Och studiet av numeriska sekvenser har varit huvudproblemet löst med matematisk analys sedan starten.
