För att förstå vad ytterpunkterna för en funktion är, är det inte alls nödvändigt att känna till förekomsten av första- och andraderivatan och förstå deras fysiska betydelse. Först måste du förstå följande:
- funktion extrema maximera eller, omvänt, minimera värdet av funktionen i ett godtyckligt litet område;
- Det ska inte finnas ett funktionsavbrott vid extrempunkten.
Och nu samma sak, bara i klartext. Titta på spetsen på en kulspetspenna. Om pennan placeras vertik alt, med skriften uppåt, kommer själva mitten av bollen att vara den yttersta punkten - den högsta punkten. I det här fallet talar vi om det maximala. Om du nu vänder pennan med skrivänden nedåt, kommer det redan att finnas ett minimum av funktionen i mitten av bollen. Med hjälp av figuren som ges här kan du föreställa dig de listade manipulationerna för en brevpapperspenna. Så extrema för en funktion är alltid kritiska punkter: dess maxima eller minima. Den intilliggande delen av diagrammet kan vara godtyckligt skarp eller slät, men den måste finnas på båda sidor, bara i det här fallet är punkten ett extremum. Om diagrammet bara finns på en sida, kommer denna punkt inte att vara ett extremum även om det är på ena sidanextrema villkor är uppfyllda. Låt oss nu studera ytterligheterna av funktionen ur en vetenskaplig synvinkel. För att en punkt ska anses vara ett extremum är det nödvändigt och tillräckligt att:
- den första derivatan var lika med noll eller fanns inte vid punkten;
- den första derivatan ändrade sitt tecken vid denna tidpunkt.
Villståndet tolkas något annorlunda ur högre ordningens derivator: för en funktion som är differentierbar i en punkt räcker det att det finns en udda ordningsderivata som inte är lika med noll, medan alla derivator av lägre ordning måste finnas och vara lika med noll. Detta är den enklaste tolkningen av satser från läroböcker i högre matematik. Men för de vanligaste människorna är det värt att förklara denna punkt med ett exempel. Grunden är en vanlig parabel. Gör omedelbart en reservation, vid nollpunkten har den ett minimum. Bara lite matematik:
- första derivatan (X2)|=2X, för nollpunkten 2X=0;
- sekundderivata (2X)|=2, för nollpunkt 2=2.
Detta är en enkel illustration av de villkor som bestämmer funktionens extrema värden både för första ordningens derivator och för högre ordningens derivator. Vi kan lägga till detta att andraderivatan är precis samma derivata av en udda ordning, olik noll, vilket diskuterades lite högre. När det gäller extrema för en funktion av två variabler måste villkoren vara uppfyllda för båda argumenten. Närgeneralisering sker, sedan används partiella derivator. Det vill säga, det är nödvändigt för närvaron av ett extremum vid en punkt där båda första ordningens derivator är lika med noll, eller åtminstone en av dem inte existerar. För tillräckligheten av närvaron av ett extremum undersöks ett uttryck, som är skillnaden mellan produkten av andra ordningens derivator och kvadraten på den blandade andra ordningens derivatan av funktionen. Om detta uttryck är större än noll, så finns det ett extremum, och om det finns noll förblir frågan öppen och ytterligare forskning behövs.
