I matematik finns begreppet "mängd", samt exempel på att jämföra samma mängder med varandra. Namnen på typer av jämförelse av uppsättningar är följande ord: bijektion, injektion, injektion. Var och en av dem beskrivs mer i detalj nedan.
En bijektion är… vad är det?
En grupp av element i den första uppsättningen matchas med den andra gruppen av element från den andra uppsättningen i denna form: varje element i den första gruppen matchas direkt med ett annat element i den andra gruppen, och där det finns ingen situation med brist eller uppräkning av element i någon eller från två grupper av uppsättningar.
Formulering av de viktigaste egenskaperna:
- Ett element till ett.
- Det finns inga extra element vid matchning och den första egenskapen bevaras.
- Det är möjligt att vända kartan samtidigt som den allmänna vyn bibehålls.
- En bijektion är en funktion som är både injektiv och surjektiv.
Bijektion ur vetenskaplig synvinkel
Bijektiva funktioner är exakt isomorfismer i kategorin "uppsättning och uppsättning funktioner". Bijektioner är dock inte alltid isomorfismer för mer komplexa kategorier. Till exempel, i en viss kategori av grupper måste morfismer vara homomorfismer, eftersom de måste bevara gruppens struktur. Därför är isomorfismer gruppisomorfismer, som är bijektiva homomorfismer.
Begreppet "en-till-en-korrespondens" är generaliserat till partiella funktioner, där de kallas partiella bijektioner, även om en partiell bijektion är vad som borde vara en injektion. Anledningen till denna avslappning är att den partiella (riktiga) funktionen inte längre är definierad för en del av dess domän. Det finns alltså ingen bra anledning att begränsa dess inversa funktion till en komplett funktion, dvs definierad överallt i dess domän. Mängden av alla partiella bijektioner till en given basmängd kallas en symmetrisk invers halvgrupp.
Ett annat sätt att definiera samma begrepp: det är värt att säga att en partiell bijektion av mängder från A till B är vilken som helst relation R (partiell funktion) med egenskapen att R är en bijektionsgraf f:A'→B ' där A' är en delmängd av A och B' är en delmängd av B.
När en partiell bijektion är på samma uppsättning kallas det ibland en en-till-en partiell transformation. Ett exempel är Möbius-transformen precis definierad på det komplexa planet, inte dess fullbordande i det utökade komplexa planet.
Injektion
En grupp av element i den första uppsättningen matchas med den andra gruppen av element från den andra uppsättningen i denna form: varje element i den första gruppen matchas med ett annat element i den andra, men inte alla de omvandlas till par. Antalet oparade element beror på skillnaden i antalet av just dessa element i var och en av uppsättningarna: om en uppsättning består av trettioen element, och den andra har sju fler, så är antalet oparade element sju. Riktad injektion i setet. Bijektion och injektion är lika, men inget mer än liknande.
Surjection
En grupp av element i den första uppsättningen matchas med den andra gruppen av element från den andra uppsättningen på detta sätt: varje element i en grupp bildar ett par, även om det finns en skillnad mellan antalet element. Det följer att ett element från en grupp kan paras med flera element från en annan grupp.
Varken bijektiv, inte injektiv eller surjektiv funktion
Detta är en funktion av bijektiv och surjektiv form, men med en rest (oparad)=> injektion. I en sådan funktion finns det uppenbarligen ett samband mellan bijektion och surjektion, eftersom den direkt inkluderar dessa två typer av jämförelsejämförelser. Så, helheten av alla typer av dessa funktioner är inte en av dem isolerat.
Förklaring av alla typer av funktioner
Betraktaren är till exempel fascinerad av följande. Det finns bågskyttetävlingar. Var och en avdeltagare vill träffa målet (för att underlätta uppgiften: exakt var pilen träffar beaktas inte). Endast tre deltagare och tre mål - detta är den första platsen (sidan) för turneringen. I efterföljande avsnitt bevaras antalet bågskyttar, men antalet mål ändras: på det andra - fyra mål, på nästa - också fyra och på det fjärde - fem. Varje deltagare skjuter mot varje mål.
- Den första platsen för turneringen. Den första bågskytten träffar bara ett mål. Den andra träffar bara ett mål. Den tredje upprepas efter de andra, och alla bågskyttarna träffar olika mål: de som är mitt emot dem. Som ett resultat träffade 1 (den första bågskytten) målet (a), 2 - in (b), 3 - in (c). Följande beroende observeras: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). Slutsatsen blir bedömningen att en sådan jämförelse av mängder är en bijektion.
- Den andra plattformen för turneringen. Den första bågskytten träffar bara ett mål. Den andra träffar också bara ett mål. Den tredje försöker inte riktigt och upprepar allt efter de andra, men tillståndet är detsamma - alla bågskyttar träffar olika mål. Men, som tidigare nämnts, finns det redan fyra mål på den andra plattformen. Beroende: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - oparat element i uppsättningen. I det här fallet blir slutsatsen att en sådan jämförelsejämförelse är en injektion.
- Den tredje platsen för turneringen. Den första bågskytten träffar bara ett mål. Den andra träffar bara ett mål igen. Den tredje bestämmer sig för att ta sig samman och träffar det tredje och fjärde målet. Som ett resultat, beroendet: 1 -(a), 2-(b), 3-(c), 3-(d). Här blir slutsatsen bedömningen att en sådan jämförelse av mängder är en förmodan.
- Den fjärde plattformen för turneringen. Med den första är allt redan klart, han träffar bara ett mål, där det snart inte finns plats för redan tråkiga träffar. Nu tar den andra rollen som den fortfarande nyblivna trean och träffar återigen bara ett mål, upprepande efter det första. Den tredje fortsätter att kontrollera sig själv och slutar inte att introducera sin pil till det tredje och fjärde målet. Den femte var dock fortfarande utanför hans kontroll. Så beroende: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - oparat element i uppsättningen av mål. Slutsats: en sådan jämförelse av set är inte en injektion, inte en injektion och inte en bijektion.
Nu kommer det inte att vara ett problem att konstruera en bijektion, injektion eller injektion, liksom att hitta skillnader mellan dem.
