Vi studerade alla aritmetiska kvadratrötter i algebraklassen i skolan. Det händer att om kunskapen inte fräschas upp så glöms den snabbt bort, samma sak med rötterna. Den här artikeln kommer att vara användbar för åttondeklassare som vill fräscha upp sina kunskaper inom detta område, och andra skolbarn, eftersom vi arbetar med rötter i årskurs 9, 10 och 11.
Historia för rot och grad
Även i forntida tider, och specifikt i det forntida Egypten, behövde människor grader för att utföra operationer på siffror. När det inte fanns något sådant koncept skrev egyptierna ner produkten av samma antal tjugo gånger. Men snart uppfanns en lösning på problemet - antalet gånger som talet måste multipliceras med sig självt började skrivas i det övre högra hörnet ovanför det, och denna form av inspelning har överlevt till denna dag.
Och kvadratrotens historia började för cirka 500 år sedan. Den betecknades på olika sätt, och först på 1600-talet introducerade Rene Descartes ett sådant tecken, som vi använder än i dag.
Vad är en kvadratrot
Låt oss börja med att förklara vad en kvadratrot är. Kvadratroten ur något tal c är ett icke-negativt tal som, när det kvadrateras, kommer att vara lika med c. I det här fallet är c större än eller lika med noll.
För att få en siffra under roten, räcker vi den och sätter rottecknet över den:
32=9, 3=√9
Vi kan inte heller få värdet av kvadratroten ur ett negativt tal, eftersom alla tal i en kvadrat är positivt, det vill säga:
c2 ≧ 0, om √c är ett negativt tal, då c2 < 0 - i motsats till regeln.
För att snabbt kunna beräkna kvadratrötter måste du känna till tabellen med kvadrater av tal.
Properties
Låt oss betrakta kvadratrotens algebraiska egenskaper.
1) För att extrahera kvadratroten av produkten måste du ta roten från varje faktor. Det vill säga, det kan skrivas som produkten av faktorernas rötter:
√ac=√a × √c, till exempel:
√36=√4 × √9
2) När man extraherar en rot från ett bråk, är det nödvändigt att extrahera roten separat från täljaren och nämnaren, det vill säga skriva den som en kvot av deras rötter.
3) Värdet som erhålls genom att ta kvadratroten ur ett tal är alltid lika med modulen för detta tal, eftersom modulen bara kan vara positiv:
√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.
4) För att höja en rot till vilken makt som helst, höjer vi till denradik alt uttryck:
(√с)4=√с4, till exempel:
(√2)6 =√26=√64=8
5) Kvadraten av den aritmetiska roten av c är lika med detta tal:
(√s)2=s.
Rötter till irrationella tal
Låt oss säga att roten av sexton är lätt, men hur tar man roten av siffror som 7, 10, 11?
Ett tal vars rot är en oändlig icke-periodisk bråkdel kallas irrationell. Vi kan inte utvinna roten från den på egen hand. Vi kan bara jämföra det med andra siffror. Ta till exempel roten av 5 och jämför det med √4 och √9. Det är tydligt att √4 < √5 < √9, sedan 2 < √5 < 3. Det betyder att värdet på roten av fem ligger någonstans mellan två och tre, men det finns många decimalbråk mellan dem, och att välja var och en är ett tveksamt sätt att hitta roten.
Du kan göra den här operationen på en miniräknare - det här är det enklaste och snabbaste sättet, men i 8:e klass kommer du aldrig att behöva extrahera irrationella tal från den aritmetiska kvadratroten. Du behöver bara komma ihåg de ungefärliga värdena av roten av två och roten av tre:
√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.
Exempel
Nu, baserat på kvadratrotens egenskaper, kommer vi att lösa flera exempel:
1) √172 - 82
Kom ihåg formeln för skillnaden mellan kvadrater:
√(17-8) (17+8)=√9 ×25
Vi känner till egenskapen för den aritmetiska kvadratroten - för att extrahera roten från produkten måste du extrahera den från varje faktor:
√9 × √25=3 × 5=15
2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36
Tillämpa en annan egenskap hos roten - kvadraten på den aritmetiska roten av ett tal är lika med detta tal:
2 × 3 + 6=12
Viktigt! När eleverna börjar arbeta och lösa exempel med aritmetiska kvadratrötter gör eleverna ofta följande misstag:
√12 + 3=√12 + √3 - det kan du inte göra!
Vi kan inte ta roten till varje term. Det finns ingen sådan regel, men den förväxlas med att ta roten till varje faktor. Om vi hade det här inlägget:
√12 × 3, då skulle det vara rättvist att skriva √12 × 3=√12 × √3.
Och så vi kan bara skriva:
√12 + 3=√15
