Algebraiska ojämlikheter eller deras system med rationella koefficienter vars lösningar söks i heltal eller heltal. Som regel är antalet okända i diofantiska ekvationer större. Således är de också kända som obestämda ojämlikheter. I modern matematik tillämpas ovanstående koncept på algebraiska ekvationer vars lösningar söks i algebraiska heltal av någon förlängning av fältet för Q-rationella variabler, fältet för p-adiska variabler, etc.
Ursprunget till dessa ojämlikheter
Studien av de diofantiska ekvationerna är på gränsen mellan t alteori och algebraisk geometri. Att hitta lösningar i heltalsvariabler är ett av de äldsta matematiska problemen. Redan i början av det andra årtusendet f. Kr. de gamla babylonierna lyckades lösa ekvationssystem med två okända. Denna gren av matematik blomstrade mest i antikens Grekland. Diophantus aritmetik (ca 300-talet e. Kr.) är en betydande och huvudkälla som innehåller olika typer och ekvationssystem.
I den här boken förutsåg Diophantus ett antal metoder för att studera ojämlikheterna i den andra och tredjegrader som var fullt utvecklade på 1800-talet. Skapandet av teorin om rationella tal av denna forskare i antikens Grekland ledde till analysen av logiska lösningar på obestämda system, som systematiskt följs i hans bok. Även om hans arbete innehåller lösningar på specifika diofantiska ekvationer, finns det anledning att tro att han också var bekant med flera allmänna metoder.
Studeringen av dessa ojämlikheter är vanligtvis förknippad med allvarliga svårigheter. På grund av det faktum att de innehåller polynom med heltalskoefficienter F (x, y1, …, y). Baserat på detta drogs slutsatserna att det inte finns någon enskild algoritm som skulle kunna användas för att bestämma för ett givet x om ekvationen F (x, y1, …., y ). Situationen går att lösa för y1, …, y . Exempel på sådana polynom kan skrivas.
Den enklaste ojämlikheten
ax + by=1, där a och b är relativt heltal och primtal, har den ett stort antal exekveringar (om x0, y0 resultatet bildas, sedan variabelparet x=x0 + b och y=y0 -an, där n är godtycklig, kommer också att betraktas som en ojämlikhet). Ett annat exempel på diofantiska ekvationer är x2 + y2 =z2. De positiva integrallösningarna av denna olikhet är längderna på de små sidorna x, y och räta trianglar, samt hypotenusan z med heltals sidodimensioner. Dessa siffror är kända som Pythagoras tal. Alla trillingar med avseende på primtal angesovanstående variabler ges av x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, där m och n är heltal och primtal (m>n>0).
Diophantus söker i sin aritmetik efter rationella (inte nödvändigtvis integrerade) lösningar på speciella typer av hans ojämlikheter. En allmän teori för att lösa diofantiska ekvationer av första graden utvecklades av C. G. Baschet på 1600-talet. Andra vetenskapsmän i början av 1800-talet studerade huvudsakligen liknande ojämlikheter som ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, där a, b, c, d, e och f är allmänna, heterogena, med två okända av andra graden. Lagrange använde fortsatta bråk i sin studie. Gauss för kvadratiska former utvecklade en allmän teori som ligger till grund för vissa typer av lösningar.
I studien av dessa andra gradens ojämlikheter gjordes betydande framsteg först på 1900-talet. A. Thue fann att den diofantiska ekvationen a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, där n≧3, a0, …, a , c är heltal och a0tn + …+ a kan inte ha ett oändligt antal heltalslösningar. Thues metod var dock inte riktigt utvecklad. A. Baker skapade effektiva satser som ger uppskattningar av prestandan för vissa ekvationer av detta slag. BN Delaunay föreslog en annan undersökningsmetod som är tillämplig på en snävare klass av dessa ojämlikheter. I synnerhet är formen ax3 + y3 =1 helt lösbar på detta sätt.
Diofantiska ekvationer: lösningsmetoder
Teorin om Diophantus har många riktningar. Ett välkänt problem i detta system är alltså hypotesen att det inte finns någon icke-trivial lösning av de diofantiska ekvationerna xn + y =z n if n ≧ 3 (Fermats fråga). Studiet av heltalsuppfyllelser av ojämlikheten är en naturlig generalisering av problemet med pythagoras trillingar. Euler fick en positiv lösning av Fermats problem för n=4. Tack vare detta resultat hänvisar det till beviset för det saknade heltal, icke-nollstudier av ekvationen om n är ett udda primtal.
Utredningen angående beslutet har inte slutförts. Svårigheterna med dess implementering är relaterade till det faktum att den enkla faktoriseringen i ringen av algebraiska heltal inte är unik. Teorin om divisorer i detta system för många klasser av primtalsexponenter n gör det möjligt att bekräfta giltigheten av Fermats teorem. Således uppfylls den linjära diofantiska ekvationen med två okända med de befintliga metoderna och sätten.
Typer och typer av beskrivna uppgifter
Aritmetik av ringar med algebraiska heltal används också i många andra problem och lösningar av diofantiska ekvationer. Sådana metoder användes till exempel för att uppfylla ojämlikheter av formen N(a1 x1 +…+ a x)=m, där N(a) är normen för a, och x1, …, xn integral rationella variabler hittas. Denna klass inkluderar Pell-ekvationen x2–dy2=1.
Värdena a1, …, a som visas, dessa ekvationer är uppdelade i två typer. Den första typen - de så kallade kompletta formerna - inkluderar ekvationer där det bland a finns m linjärt oberoende tal över fältet för rationella variabler Q, där m=[Q(a1, …, a):Q], där det finns en grad av algebraiska exponenter Q (a1, …, a ) över Q. Ofullständiga arter är de i som det maximala antalet av a i mindre än m.
Fullständiga formulär är enklare, deras studie är komplett och alla lösningar kan beskrivas. Den andra typen, ofullständiga arter, är mer komplicerad, och utvecklingen av en sådan teori har ännu inte slutförts. Sådana ekvationer studeras med hjälp av diofantiska approximationer, som inkluderar olikheten F(x, y)=C, där F (x, y) är ett irreducerbart, homogent polynom med grad n≧3. Därför kan vi anta att yi→∞. Följaktligen, om yi är tillräckligt stor, så kommer ojämlikheten att motsäga Thue, Siegel och Roths sats, av vilket det följer att F(x, y)=C, där F är en form av tredje graden eller högre, det irreducerbara kan inte ha ett oändligt antal lösningar.
Hur löser man en diofantisk ekvation?
Det här exemplet är en ganska snäv klass bland alla. Till exempel, trots sin enkelhet, x3 + y3 + z3=N, och x2 +y 2 +z2 +u2 =N ingår inte i denna klass. Studiet av lösningar är en ganska noggrant studerad gren av diofantiska ekvationer, där basen är representationen av andragradsformer av tal. Lagrangeskapade en sats som säger att uppfyllelsen finns för alla naturliga N. Vilket naturligt tal som helst kan representeras som summan av tre kvadrater (Gauss sats), men det bör inte ha formen 4a (8K- 1), där a och k är icke-negativa heltalsexponenter.
Rationella eller integrerade lösningar till ett system av en diofantisk ekvation av typen F (x1, …, x)=a, där F (x 1, …, x) är en kvadratisk form med heltalskoefficienter. Således, enligt Minkowski-Hasse-satsen, är ojämlikheten ∑aijxixj=b ijoch b är rationell, har en integrallösning i reella och p-adiska tal för varje primtal p endast om det är lösbart i denna struktur.
På grund av de inneboende svårigheterna har studiet av tal med godtyckliga former av tredje graden och högre studerats i mindre utsträckning. Den huvudsakliga exekveringsmetoden är metoden för trigonometriska summor. I detta fall skrivs antalet lösningar till ekvationen uttryckligen i termer av Fourier-integralen. Därefter används miljömetoden för att uttrycka antalet uppfyllelser av olikheten för motsvarande kongruenser. Metoden för trigonometriska summor beror på de algebraiska egenskaperna hos ojämlikheterna. Det finns ett stort antal elementära metoder för att lösa linjära diofantiska ekvationer.
Diofantinanalys
Matematiska institutionen, vars ämne är studiet av integrala och rationella lösningar av algebras ekvationssystem med geometrimetoder, från sammasfärer. Under andra hälften av 1800-talet ledde framväxten av denna t alteori till studiet av de diofantiska ekvationerna från ett godtyckligt fält med koefficienter, och lösningar övervägdes antingen i det eller i dess ringar. Systemet med algebraiska funktioner utvecklades parallellt med siffror. Den grundläggande analogin mellan de två, som betonades av D. Hilbert och i synnerhet L. Kronecker, ledde till en enhetlig konstruktion av olika aritmetiska begrepp, som brukar kallas globala.
Detta är särskilt märkbart om de algebraiska funktionerna som studeras över ett ändligt fält av konstanter är en variabel. Begrepp som klassfältteori, divisor och förgrening och resultat är en bra illustration av ovanstående. Denna synpunkt antogs i systemet med diofantiska ojämlikheter först senare, och systematisk forskning inte bara med numeriska koefficienter, utan också med koefficienter som är funktioner, började först på 1950-talet. En av de avgörande faktorerna i detta tillvägagångssätt var utvecklingen av algebraisk geometri. Den samtidiga studien av fälten siffror och funktioner, som uppstår som två lika viktiga aspekter av samma ämne, gav inte bara eleganta och övertygande resultat, utan ledde till en ömsesidig berikning av de två ämnena.
I algebraisk geometri ersätts begreppet varietet av en icke-invariant uppsättning olikheter över ett givet fält K, och deras lösningar ersätts av rationella punkter med värden i K eller i dess finita förlängning. Man kan följaktligen säga att det grundläggande problemet med diofantisk geometri är studiet av rationella punkterav en algebraisk mängd X(K), medan X är vissa tal i fältet K. Heltalsutförande har en geometrisk betydelse i linjära diofantiska ekvationer.
Ojämlikhetsstudier och genomförande alternativ
När man studerar rationella (eller integrerade) punkter på algebraiska varianter, uppstår det första problemet, vilket är deras existens. Hilberts tionde problem formuleras som problemet att hitta en generell metod för att lösa detta problem. I processen att skapa en exakt definition av algoritmen och efter att det bevisades att det inte finns några sådana exekveringar för ett stort antal problem, fick problemet ett uppenbart negativt resultat, och den mest intressanta frågan är definitionen av klasser av diofantiska ekvationer för vilket ovanstående system finns. Det mest naturliga tillvägagångssättet, ur en algebraisk synvinkel, är den så kallade Hasse-principen: initialfältet K studeras tillsammans med dess kompletteringar Kv över alla möjliga uppskattningar. Eftersom X(K)=X(Kv) är ett nödvändigt villkor för existens, och K-punkten tar hänsyn till att mängden X(Kv) är inte tomt för alla v.
Viktigheten ligger i det faktum att den sammanför två problem. Den andra är mycket enklare, den är lösbar med en känd algoritm. I det speciella fallet där sorten X är projektiv, möjliggör Hans lemma och dess generaliseringar ytterligare reduktion: problemet kan reduceras till studiet av rationella punkter över ett ändligt fält. Sedan bestämmer han sig för att bygga ett koncept antingen genom konsekvent forskning eller mer effektiva metoder.
Sistaen viktig faktor är att mängderna X(Kv) inte är tomma för alla utom ett ändligt antal v, så antalet villkor är alltid ändligt och de kan testas effektivt. Hasses princip gäller dock inte för gradkurvor. Till exempel, 3x3 + 4y3=5 har poäng i alla p-adiska nummerfält och i ett system av reella tal, men har inga rationella punkter.
Denna metod fungerade som en utgångspunkt för att konstruera ett koncept som beskriver klasserna av huvudsakliga homogena utrymmen av Abeliska sorter för att utföra en "avvikelse" från Hasse-principen. Det beskrivs i termer av en speciell struktur som kan associeras med varje grenrör (Tate-Shafarevich-gruppen). Teorins största svårighet ligger i att metoder för att beräkna grupper är svåra att få fram. Detta koncept har även utökats till andra klasser av algebraiska varianter.
Sök efter en algoritm för att uppfylla ojämlikheter
En annan heuristisk idé som används i studiet av diofantiska ekvationer är att om antalet variabler som är involverade i en uppsättning ojämlikheter är stort, så har systemet vanligtvis en lösning. Detta är dock mycket svårt att bevisa för något särskilt fall. Den allmänna inställningen till problem av denna typ använder sig av analytisk t alteori och baseras på uppskattningar för trigonometriska summor. Denna metod användes ursprungligen för speciella typer av ekvationer.
Men senare bevisades det med dess hjälp att om formen av en udda grad är F, i doch n variabler och med rationella koefficienter, då är n tillräckligt stor jämfört med d, så den projektiva hyperytan F=0 har en rationell punkt. Enligt Artins gissning är detta resultat sant även om n > d2. Detta har endast bevisats för kvadratiska former. Liknande problem kan ställas för andra områden också. Det centrala problemet med diofantisk geometri är strukturen av mängden heltals eller rationella punkter och deras studie, och den första frågan som ska klargöras är om denna mängd är ändlig. I detta problem har situationen vanligtvis ett ändligt antal exekveringar om graden av systemet är mycket större än antalet variabler. Detta är det grundläggande antagandet.
Ojämlikheter på linjer och kurvor
Gruppen X(K) kan representeras som en direkt summa av en fri struktur med rang r och en ändlig grupp av ordningen n. Sedan 1930-talet har man studerat frågan om huruvida dessa tal är avgränsade på mängden av alla elliptiska kurvor över ett givet fält K. Avgränsningen av vridningen n demonstrerades på sjuttiotalet. Det finns kurvor av godtycklig hög rang i det funktionella fallet. I det numeriska fallet finns det fortfarande inget svar på denna fråga.
Slutligen säger Mordells gissning att antalet integralpunkter är ändligt för en kurva av släktet g>1. I det funktionella fallet demonstrerades detta koncept av Yu. I. Manin 1963. Det huvudsakliga verktyget som används för att bevisa ändlighetssatser i diofantin geometri är höjden. Av de algebraiska varianterna är dimensionerna ovanför en abelskagrenrör, som är de flerdimensionella analogerna av elliptiska kurvor, har studerats mest noggrant.
A. Weil generaliserade satsen om ändligheten av antalet generatorer av en grupp av rationella punkter till abeliaska varianter av vilken dimension som helst (Mordell-Weil-konceptet), och utökade det. På 1960-talet dök upp gissningarna om Birch och Swinnerton-Dyer, vilket förbättrade denna och grenrörets grupp och zetafunktioner. Numeriska bevis stöder denna hypotes.
Lösbarhetsproblem
Problemet med att hitta en algoritm som kan användas för att avgöra om någon diofantisk ekvation har en lösning. Ett väsentligt inslag i det problem som ställs är sökandet efter en universell metod som skulle vara lämplig för alla ojämlikheter. En sådan metod skulle också tillåta att lösa ovanstående system, eftersom den är ekvivalent med P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 eller p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Problemet med att hitta ett sådant universellt sätt att hitta lösningar för linjära ojämlikheter i heltal ställdes av D. Gilbert.
I början av 1950-talet dök de första studierna upp som syftade till att bevisa att det inte finns en algoritm för att lösa diofantiska ekvationer. Vid den här tiden dök Davis gissningen upp, som sa att alla otaliga uppsättningar också tillhör den grekiska vetenskapsmannen. Eftersom exempel på algoritmiskt obestämbara uppsättningar är kända, men är rekursivt uppräknade. Det följer att Davis-förmodan är sann och problemet med lösbarheten av dessa ekvationerhar en negativ exekvering.
Därefter återstår det för Davis gissningar att bevisa att det finns en metod för att transformera en ojämlikhet som också (eller inte hade) samtidigt har en lösning. Det visades att en sådan förändring av den diofantiska ekvationen är möjlig om den har ovanstående två egenskaper: 1) i vilken lösning som helst av denna typ v ≦ uu; 2) för varje k, finns det en exekvering med exponentiell tillväxt.
Ett exempel på en linjär diofantisk ekvation av denna klass fullbordade beviset. Problemet med förekomsten av en algoritm för lösbarhet och erkännande av dessa ojämlikheter i rationella tal anses fortfarande vara en viktig och öppen fråga som inte har studerats tillräckligt.
