Vanlig femhörning: det nödvändiga minimum av information

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2023-12-17 05:42

Ozhegov's Explanatory Dictionary säger att en femhörning är en geometrisk figur som begränsas av fem skärande räta linjer som bildar fem inre vinklar, såväl som alla föremål med liknande form. Om en given polygon har samma sidor och vinklar, kallas den en regelbunden (femhörning).

Vad är intressant med en vanlig femhörning?

Det var i denna form som den välkända byggnaden av USA:s försvarsdepartement byggdes. Av de voluminösa regelbundna polyedrarna är det bara dodekaedern som har femhörningsformade ytor. Och i naturen är kristaller helt frånvarande, vars ansikten skulle likna en vanlig femhörning. Dessutom är den här figuren en polygon med ett minsta antal hörn som inte kan användas för att belägga ett område. Endast en femhörning har samma antal diagonaler som dess sidor. Håller med, det är intressant!

Grundläggande egenskaper och formler

Använda formlerna förgodtycklig reguljär polygon kan du bestämma alla nödvändiga parametrar som pentagonen har.

• Centralvinkel α=360 / n=360/5=72°.
• Inre vinkel β=180°(n-2)/n=180°3/5=108°. Följaktligen är summan av de inre vinklarna 540°.
• Förhållandet mellan diagonalen och sidan är (1+√5) /2, det vill säga det "gyllene snittet" (ungefär 1 618).
• Längden på sidan som en vanlig femhörning har kan beräknas med hjälp av en av tre formler, beroende på vilken parameter som redan är känd:
• om en cirkel är omskriven runt den och dess radie R är känd, då a=2Rsin (α/2)=2Rsin(72°/2) ≈1, 1756R;
• i det fall när en cirkel med radien r är inskriven i en regelbunden femhörning, a=2rtg(α/2)=2rtg(α/2) ≈ 1, 453r;
• det händer att istället för radier är värdet på diagonalen D känt, då bestäms sidan enligt följande: a ≈ D/1, 618.
• Arean av en vanlig femhörning bestäms, återigen, beroende på vilken parameter vi känner till:
• om det finns en inskriven eller omskriven cirkel, används en av två formler:

S=(nar)/2=2, 5ar eller S=(nR²sin α)/2 ≈ 2, 3776R²;

området kan också bestämmas genom att bara veta längden på sidan a:

S=(5a²tg54°)/4 ≈ 1, 7205 a².

Regular pentagon: konstruktion

Denna geometriska figur kan byggas på olika sätt. Skriv till exempel in den i en cirkel med en given radie, eller bygg den på basis av en given sidosida. Handlingssekvensen beskrevs i Euklids element omkring 300 f. Kr. Vi behöver i alla fall en kompass och en linjal. Tänk på konstruktionsmetoden med en given cirkel.

1. Välj en godtycklig radie och rita en cirkel och markera dess centrum med ett O.

2. På cirkellinjen väljer du en punkt som kommer att fungera som en av hörnen i vår femhörning. Låt detta vara punkt A. Förbind punkterna O och A med en rak linje.

3. Rita en linje genom punkt O vinkelrät mot linjen OA. Ange skärningspunkten för denna linje med cirkelns linje som punkt B.

4. I mitten av avståndet mellan punkterna O och B, bygg punkt C.

5. Rita nu en cirkel vars centrum kommer att vara i punkt C och som kommer att passera genom punkt A. Platsen för dess skärning med linjen OB (den kommer att vara innanför den allra första cirkeln) kommer att vara punkt D.

6. Konstruera en cirkel som går genom D, vars centrum kommer att vara i A. Platserna för dess skärning med den ursprungliga cirkeln måste markeras med punkterna E och F.

7. Konstruera nu en cirkel, vars centrum kommer att vara i E. Du måste göra detta så att den passerar genom A. Dess andra skärningspunkt mellan den ursprungliga cirkeln måste indikeras med punkten G.

8. Rita slutligen en cirkel genom A centrerad vid punkt F. Markera ytterligare en skärningspunkt för den ursprungliga cirkeln med punkten H.

9. Nu kvaranslut bara hörnen A, E, G, H, F. Vår vanliga femhörning kommer att vara klar!