I matematik är logaritmen inversen av exponentialfunktionen. Det betyder att logaritmen för lg är den potens till vilken talet b måste höjas för att få x som ett resultat. I det enklaste fallet tar den hänsyn till den upprepade multiplikationen av samma värde.
Tänk på ett specifikt exempel:
1000=10 × 10 × 10=103
I det här fallet är det logaritmen med bas tio för lg. Det är lika med tre.
lg101000=3
I allmänhet kommer uttrycket att se ut så här:
lgbx=a
Exponentiering tillåter alla positiva reella tal att ökas till vilket reellt värde som helst. Resultatet kommer alltid att vara större än noll. Därför är logaritmen för två positiva reella tal b och x, där b inte är lika med 1, alltid ett unikt reellt tal a. Dessutom definierar den relationen mellan exponentiering och logaritm:
lgbx=a if ba=x.
Historia
Historien om logaritmen (lg) har sitt ursprung i Europa på 1600-talet. Detta är öppningen av en ny funktionutökade analysens omfattning bortom algebraiska metoder. Metoden för logaritmer föreslogs offentligt av John Napier 1614 i en bok som heter Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ("Beskrivning av logaritmernas anmärkningsvärda regler"). Före vetenskapsmannens uppfinning fanns det andra metoder inom liknande områden, såsom användningen av progressionstabeller utvecklade av Jost Bürggi omkring 1600.
Decimallogaritmen lg är logaritmen med bas tio. För första gången användes riktiga logaritmer med heuristik för att omvandla multiplikation till addition, vilket underlättade snabb beräkning. Vissa av dessa metoder använde tabeller härledda från trigonometriska identiteter.
Upptäckten av funktionen som nu är känd som logaritmen (lg) tillskrivs Gregory de Saint Vincent, en belgare som bor i Prag, som försöker kvadraturera en rektangulär hyperbel.
Använd
Logaritmer används ofta utanför matematiken. Vissa av dessa fall är relaterade till begreppet skalinvarians. Till exempel är varje kammare i nautilusskalet en ungefärlig kopia av nästa, förminskad eller förstorad med ett visst antal gånger. Detta kallas en logaritmisk spiral.
Dimensioner av egentillverkade geometrier, vars delar liknar slutprodukten, är också baserade på logaritmer. Logaritmiska skalor är användbara för att kvantifiera relativ förändringvärden. Dessutom, eftersom funktionen logbx växer mycket långsamt vid stort x, används logaritmiska skalor för att komprimera storskalig vetenskaplig data. Logaritmer förekommer också i många vetenskapliga formler som Fenske-ekvationen eller Nernst-ekvationen.
Kalkyl
Vissa logaritmer kan lätt beräknas, till exempel log101000=3. I allmänhet kan de beräknas med potensserier eller det aritmetiskt-geometriska medelvärdet, eller extraheras från en förberäknad tabelllogaritmer, som har hög noggrannhet.
Newtons iterativa metod för att lösa ekvationer kan också användas för att hitta värdet på logaritmen. Eftersom den inversa funktionen för logaritmiken är exponentiell, förenklas beräkningsprocessen avsevärt.
