Projektion av kraft på axeln och på planet. Fysik

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2023-12-17 05:42

Krakt är ett av de viktigaste begreppen inom fysiken. Det orsakar en förändring i tillståndet för alla objekt. I den här artikeln kommer vi att överväga vad detta värde är, vilka krafter det finns och även visa hur man hittar kraftprojektionen på axeln och på planet.

Krakt och dess fysiska betydelse

I fysiken är kraft en vektorkvantitet som visar förändringen i en kropps rörelsemängd per tidsenhet. Denna definition betraktar kraft som en dynamisk egenskap. Ur statikens synvinkel är kraft i fysiken ett mått på elastisk eller plastisk deformation av kroppar.

Det internationella SI-systemet uttrycker kraft i newton (N). Vad är 1 newton, det enklaste sättet att förstå exemplet med den klassiska mekanikens andra lag. Dess matematiska notation är följande:

F¯=ma¯

Här är F¯ någon yttre kraft som verkar på en kropp med massan m och resulterar i acceleration a¯. Den kvantitativa definitionen av en newton följer av formeln: 1 N är en sådan kraft som leder till en förändring av hastigheten hos en kropp med en massa på 1 kg gånger 1 m/s för varje sekund.

Exempel på dynamikkraftmanifestationer är accelerationen av en bil eller en fritt fallande kropp i jordens gravitationsfält.

Den statiska manifestationen av kraft, som nämnts, är förknippad med deformationsfenomen. Följande formler ska anges här:

F=PS

F=-kx

Det första uttrycket relaterar kraften F till trycket P som den utövar på ett område S. Genom denna formel kan 1 N definieras som ett tryck på 1 pascal applicerat på en area av 1 m 2^{. Till exempel pressar en kolumn av atmosfärisk luft vid havsnivån på en plats på 1 m}2^{med en kraft på 10}5^N!

Det andra uttrycket är den klassiska formen av Hookes lag. Till exempel leder sträckning eller sammanpressning av en fjäder med ett linjärt värde x till uppkomsten av en motsatt kraft F (i uttrycket är k proportionalitetsfaktorn).

Vilka krafter finns

Det har redan visat sig ovan att krafter kan vara statiska och dynamiska. Här säger vi att utöver denna funktion kan de vara kontakt- eller långdistanskrafter. Till exempel friktionskraft, stödreaktioner är kontaktkrafter. Anledningen till deras utseende är giltigheten av Pauli-principen. Den senare säger att två elektroner inte kan uppta samma tillstånd. Det är därför beröring av två atomer leder till deras avstötning.

Långdistanskrafter uppstår som ett resultat av kroppars samverkan genom ett visst bärfält. Till exempel, sådana är tyngdkraften eller elektromagnetisk interaktion. Båda makterna har ett oändligt omfång,deras intensitet sjunker dock som kvadraten på avståndet (Coulombs lagar och gravitation).

Ström är en vektorkvantitet

Efter att ha tagit itu med innebörden av den betraktade fysiska storheten kan vi gå vidare till studiet av frågan om kraftprojektion på axeln. Först och främst noterar vi att denna kvantitet är en vektor, det vill säga den kännetecknas av en modul och riktning. Vi kommer att visa hur man beräknar kraftmodulen och dess riktning.

Det är känt att vilken vektor som helst kan definieras unikt i ett givet koordinatsystem om värdena för koordinaterna för dess början och slut är kända. Antag att det finns något riktat segment MN¯. Sedan kan dess riktning och modul bestämmas med hjälp av följande uttryck:

MN¯=(x₂-x₁; y₂-y 1_{; z}2_-z1_);

|MN¯|=√((x₂-x₁)²+ (y_{2 -y}1₎2^{+ (z}2_-z1 ₎2^).

Här motsvarar koordinater med index 2 punkt N, de med index 1 motsvarar punkt M. Vektorn MN¯ är riktad från M till N.

För allmänhetens skull har vi visat hur man hittar modul och koordinater (riktning) för en vektor i tredimensionellt rymd. Liknande formler utan den tredje koordinaten är giltiga för fallet på planet.

Därmed är kraftmodulen dess absoluta värde, uttryckt i newton. Ur geometrins synvinkel är modulen längden på det riktade segmentet.

Vad är kraftprojektionen påaxel?

Det är mest bekvämt att tala om projektioner av riktade segment på koordinataxlar och plan om du först placerar motsvarande vektor vid origo, det vill säga vid punkten (0; 0; 0). Antag att vi har någon kraftvektor F¯. Låt oss placera dess början vid punkten (0; 0; 0), sedan kan vektorns koordinater skrivas på följande sätt:

F¯=((x₁- 0); (y₁- 0); (z_1); - 0))=(x₁; y₁; z₁).

Vektor F¯ visar kraftens riktning i rymden i det givna koordinatsystemet. Låt oss nu rita vinkelräta segment från slutet av F¯ till var och en av axlarna. Avståndet från skärningspunkten för vinkelrät med motsvarande axel till origo kallas projektionen av kraften på axeln. Det är inte svårt att gissa att i fallet med kraften F¯ kommer dess projektioner på x-, y- och z-axlarna att vara x₁, y_{1 respektive z 1}. Observera att dessa koordinater visar modulerna för kraftprojektioner (längden på segmenten).

Vinklar mellan kraften och dess projektioner på koordinataxlarna

Det är inte svårt att beräkna dessa vinklar. Allt som krävs för att lösa det är kunskap om egenskaperna hos trigonometriska funktioner och förmågan att tillämpa Pythagoras sats.

Låt oss till exempel definiera vinkeln mellan kraftriktningen och dess projektion på x-axeln. Den motsvarande räta triangeln kommer att bildas av hypotenusan (vektor F¯) och benet (segment x₁). Det andra benet är avståndet från slutet av vektorn F¯ till x-axeln. Vinkeln α mellan F¯ och x-axeln beräknas med formeln:

α=arccos(|x₁|/|F¯|)=arccos(x₁/√(x_{) 1}²+y₁²+z₁ ²)).

Som du kan se, för att bestämma vinkeln mellan axeln och vektorn, är det nödvändigt och tillräckligt att känna till koordinaterna för slutet av det riktade segmentet.

För vinklar med andra axlar (y och z) kan du skriva liknande uttryck:

β=arccos(|y₁|/|F¯|)=arccos(y₁/√(x 12^+y12^+z 12^));

γ=arccos(|z₁|/|F¯|)=arccos(z₁/√(x 12^+y12^+z 12^)).

Observera att det i alla formler finns moduler i täljarna, vilket eliminerar uppkomsten av trubbiga hörn. Mellan kraften och dess axiella projektioner är vinklarna alltid mindre än eller lika med 90^o.

Kraft och dess projektioner på koordinatplanet

Definitionen av kraftprojektionen på planet är densamma som för axeln, bara i detta fall ska vinkelrät sänkas inte på axeln, utan på planet.

I fallet med ett rumsligt rektangulärt koordinatsystem har vi tre ömsesidigt vinkelräta plan xy (horisontell), yz (frontal vertikal), xz (lateral vertikal). Skärningspunkterna för perpendikulära fall från slutet av vektorn till de namngivna planen är:

(x₁; y₁; 0) för xy;

(x₁; 0; z₁) för xz;

(0; y₁; z₁) för zy.

Om var och en av de markerade punkterna är kopplade till origo, får vi projektionen av kraften F¯ på motsvarande plan. Vad är kraftmodulen vet vi. För att hitta modulen för varje projektion måste du tillämpa Pythagoras sats. Låt oss beteckna projektionerna på planet som F_xy, F_xz och F_zy. Då kommer jämlikheterna att gälla för deras moduler:

F_xy=√(x₁²+y₁ ²);

F_xz=√(x₁²+ z₁ ²);

F_zy=√(y₁²+ z₁ ²).

Vinklar mellan projektioner på planet och kraftvektor

I stycket ovan gavs formler för projektionsmodulerna på planet för den betraktade vektorn F¯. Dessa projektioner, tillsammans med segmentet F¯ och avståndet från dess ände till planet, bildar rätvinkliga trianglar. Därför, som i fallet med projektioner på axeln, kan du använda definitionen av trigonometriska funktioner för att beräkna vinklarna i fråga. Du kan skriva följande likheter:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +y}12^{) /√(x}12 +y¹₂+z¹₂));

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +z}12^)/√(x12 +y¹₂+z¹₂));

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(√(y₁²+z₁²)/√(x₁²+y₁² +z₁²)).

Det är viktigt att förstå att vinkeln mellan riktningen för kraften F¯ och dess motsvarande projektion på planet är lika med vinkeln mellan F¯ och detta plan. Om vi betraktar detta problem ur geometrins synvinkel, så kan vi säga att det riktade segmentet F¯ lutar med avseende på planen xy, xz och zy.

Var används kraftprojektioner?

Ovanstående formler för kraftprojektioner på koordinataxlarna och på planet är inte bara av teoretiskt intresse. De används ofta för att lösa fysiska problem. Själva processen att hitta projektioner kallas nedbrytningen av kraften i dess komponenter. De senare är vektorer, vars summa bör ge den ursprungliga kraftvektorn. I det allmänna fallet är det möjligt att sönderdela kraften i godtyckliga komponenter, men för att lösa problem är det bekvämt att använda projektioner på vinkelräta axlar och plan.

Problem där konceptet med kraftprojektioner tillämpas kan vara väldigt olika. Till exempel, samma Newtons andra lag antar att den yttre kraften F¯ som verkar på kroppen måste riktas på samma sätt som hastighetsvektorn v¯. Om deras riktningar skiljer sig åt med någon vinkel, bör man, för att jämlikheten ska förbli giltig, inte ersätta kraften F¯ själv, utan dess projektion på riktningen v¯.

Nästa kommer vi att ge ett par exempel, där vi kommer att visa hur man använder den inspeladeformler.

Uppgiften att bestämma kraftprojektioner på planet och på koordinataxlarna

Anta att det finns någon kraft F¯, som representeras av en vektor med följande slut- och startkoordinater:

(2; 0; 1);

(-1; 4; -1).

Det är nödvändigt att bestämma kraftens modul, såväl som alla dess projektioner på koordinataxlarna och -planen, och vinklarna mellan F¯ och var och en av dess projektioner.

Låt oss börja lösa problemet genom att beräkna koordinaterna för vektorn F¯. Vi har:

F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2).

Då blir kraftmodulen:

|F¯|=√(9 + 16 + 4)=√29 ≈ 5, 385 N.

Projektioner på koordinataxlarna är lika med motsvarande koordinater för vektorn F¯. Låt oss beräkna vinklarna mellan dem och F¯-riktningen. Vi har:

α=arccos(|-3 |/5, 385) ≈ 56, 14^o;

β=arccos(|4|/5, 385) ≈ 42, 03^o;

γ=arccos(|-2|/5, 385) ≈ 68, 20^o.

Eftersom koordinaterna för vektorn F¯ är kända, är det möjligt att beräkna modulerna för kraftprojektioner på koordinatplanet. Genom att använda formlerna ovan får vi:

F_xy=√(9 +16)=5 N;

F_xz=√(9 + 4)=3, 606 N;

F_zy=√(16 + 4)=4, 472 N.

Slutligen återstår att beräkna vinklarna mellan de hittade projektionerna på planet och kraftvektorn. Vi har:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(5/5, 385) ≈ 21, 8^o;

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) ≈ 48, 0^o;

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(4, 472/5, 385) ≈ 33, 9^o.

Därmed är vektorn F¯ närmast xy-koordinatplanet.

Problem med en skjutstång på ett lutande plan

Låt oss nu lösa ett fysiskt problem där det kommer att bli nödvändigt att tillämpa konceptet kraftprojektion. Låt ett trä lutande plan ges. Vinkeln för dess lutning mot horisonten är 45^o. På planet finns ett träblock med en massa på 3 kg. Det är nödvändigt att bestämma med vilken acceleration denna stång kommer att röra sig nedför planet om det är känt att glidfriktionskoefficienten är 0,7.

Först, låt oss göra ekvationen för kroppens rörelse. Eftersom endast två krafter kommer att verka på den (projektionen av tyngdkraften på ett plan och friktionskraften), kommer ekvationen att ha formen:

F_g- F_f=ma=>

a=(F_g- F_f)/m.

Här är F_g, F_f projektionen av gravitation respektive friktion. Det vill säga, uppgiften reduceras till att beräkna deras värden.

Eftersom vinkeln med vilken planet lutar mot horisonten är 45^o, är det lätt att visa att tyngdkraftens projektion F_glängs planets yta kommer att vara lika med:

F_g=mgsin(45^o)=39, 81/√2 ≈ 20, 81 N.

Denna kraftprojektion syftar till att förvirraträblock och ge det acceleration.

Enligt definitionen är kraften från glidfriktionen:

F_f=ΜN

Där Μ=0, 7 (se tillståndet för problemet). Reaktionskraften för stödet N är lika med projektionen av tyngdkraften på axeln vinkelrät mot det lutande planet, det vill säga: