Fysisk betydelse av tröghetsmoment: analogi med linjär rörelse, exempel

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2023-12-17 05:42

Varje fysisk storhet som helst som föreslås i matematiska ekvationer i studien av ett visst naturfenomen har någon betydelse. Tröghetsmomentet är inget undantag från denna regel. Den fysiska innebörden av denna kvantitet diskuteras i detalj i den här artikeln.

tröghetsmoment: matematisk formulering

Först och främst bör det sägas att den fysiska kvantiteten i fråga används för att beskriva rotationssystem, det vill säga sådana rörelser av ett objekt som kännetecknas av cirkulära banor runt någon axel eller punkt.

Låt oss ge den matematiska formeln för tröghetsmomentet för en materiell punkt:

I=mr².

Här är m och r partikelns massa respektive rotationsradie (avstånd till axeln). Vilken fast kropp som helst, oavsett hur komplex den kan vara, kan ment alt delas upp i materiella punkter. Då kommer formeln för tröghetsmomentet i allmän form att se ut så här:

I=∫_mr²dm.

Detta uttryck är alltid sant, och inte bara för tredimensionella,men också för tvådimensionella (endimensionella) kroppar, det vill säga för plan och stavar.

Från dessa formler är det svårt att förstå innebörden av det fysiska tröghetsmomentet, men en viktig slutsats kan dras: det beror på fördelningen av massa i kroppen som roterar, samt på avståndet till rotationsaxeln. Dessutom är beroendet av r skarpare än av m (se kvadrattecknet i formlerna).

Cirkulär rörelse

Förstå vad som är den fysiska innebörden av tröghetsmomentet, det är omöjligt om du inte tar hänsyn till kropparnas cirkulära rörelse. Utan att gå in på detaljer, här är två matematiska uttryck som beskriver rotationen:

I₁ω₁=I₂ω ₂;

M=I dω/dt.

Den övre ekvationen kallas lagen för bevarande av kvantiteten L (momentum). Det betyder att oavsett vilka förändringar som sker inom systemet (först var det ett tröghetsmoment I₁, och sedan blev det lika med I₂), kommer produkten I till vinkelhastigheten ω, det vill säga rörelsemängden, att förbli oförändrad.

Det lägre uttrycket visar förändringen i systemets rotationshastighet (dω/dt) när ett visst kraftmoment M appliceras på det, som har en yttre karaktär, det vill säga det genereras av krafter som inte relaterat till interna processer i det aktuella systemet.

Både den övre och den nedre likheten innehåller I, och ju större dess värde, desto lägre är vinkelhastigheten ω eller vinkelaccelerationen dω/dt. Detta är den fysiska innebörden av ögonblicket.kroppströghet: den återspeglar systemets förmåga att bibehålla sin vinkelhastighet. Ju mer jag, desto starkare manifesteras denna förmåga.

Linjär momentumanalogi

Låt oss nu gå vidare till samma slutsats som uttrycktes i slutet av föregående stycke, och dra en analogi mellan rotations- och translationsrörelse i fysiken. Som ni vet beskrivs det senare med följande formel:

p=mv.

Detta enkla uttryck bestämmer farten i systemet. Låt oss jämföra dess form med den för rörelsemängden (se det övre uttrycket i föregående stycke). Vi ser att värdena v och ω har samma betydelse: den första kännetecknar förändringshastigheten för objektets linjära koordinater, den andra kännetecknar vinkelkoordinaterna. Eftersom båda formlerna beskriver processen med enhetlig (likvinklig) rörelse, måste värdena m och I också ha samma betydelse.

Tänk nu på Newtons andra lag, som uttrycks med formeln:

F=ma.

När vi uppmärksammar formen av den lägre jämlikheten i föregående stycke, har vi en situation som liknar den övervägda. Kraftmomentet M i dess linjära representation är kraften F, och den linjära accelerationen a är helt analog med vinkeln dω/dt. Och återigen kommer vi till ekvivalensen mellan massa och tröghetsmoment.

Vad är meningen med massa i klassisk mekanik? Det är ett tröghetsmått: ju större m, desto svårare är det att flytta föremålet från sin plats, och ännu mer att ge det acceleration. Detsamma kan sägas om tröghetsmomentet i förhållande till rotationsrörelsen.

Tröghetsmomentets fysiska betydelse i ett hushållsexempel

Låt oss ställa en enkel fråga om hur det är lättare att vrida en metallstång, till exempel ett armeringsjärn - när rotationsaxeln är riktad längs dess längd eller när den är tvärs över? Naturligtvis är det lättare att snurra stången i det första fallet, eftersom dess tröghetsmoment för en sådan position av axeln kommer att vara mycket liten (för en tunn stång är den lika med noll). Därför räcker det att hålla ett föremål mellan handflatorna och med en lätt rörelse föra det i rotation.

Förresten, det beskrivna faktumet verifierades experimentellt av våra förfäder i antiken, när de lärde sig hur man gör upp eld. De snurrade pinnen med enorma vinkelaccelerationer, vilket ledde till att stora friktionskrafter skapades och, som ett resultat, till att en betydande mängd värme släpptes.

Ett bilsvänghjul är ett utmärkt exempel på att använda ett stort tröghetsmoment

Avslutningsvis skulle jag vilja ge det kanske viktigaste exemplet för modern teknik att använda den fysiska innebörden av tröghetsmomentet. Svänghjulet på en bil är en solid stålskiva med relativt stor radie och massa. Dessa två värden bestämmer förekomsten av ett betydande värde som jag karakteriserar det. Svänghjulet är designat för att "mjuka upp" eventuella krafteffekter på bilens vevaxel. Den impulsiva karaktären hos de verkande kraftmomenten från motorcylindrarna till vevaxeln utjämnas och görs mjuka tack vare det tunga svänghjulet.

Förresten, ju större vinkelmomentet ärmer energi finns i ett roterande system (analogi med massa). Ingenjörer vill använda detta faktum, att lagra bromsenergin från en bil i svänghjulet, för att sedan styra den för att accelerera fordonet.