En av de grenar inom matematiken som skolbarn klarar av de största svårigheterna är trigonometri. Inte konstigt: för att fritt bemästra detta kunskapsområde behöver du rumsligt tänkande, förmågan att hitta sinus, cosinus, tangenter, cotangenter med formler, förenkla uttryck och kunna använda talet pi i beräkningar. Dessutom måste du kunna tillämpa trigonometri när du bevisar satser, och detta kräver antingen ett utvecklat matematiskt minne eller förmåga att härleda komplexa logiska kedjor.
The Origins of Trigonometry
Introduktionen till denna vetenskap bör börja med definitionen av sinus, cosinus och tangens för en vinkel, men först måste du ta reda på vad trigonometri gör i allmänhet.
Historiskt sett har räta trianglar varit det huvudsakliga forskningsobjektet i denna del av matematisk vetenskap. Närvaron av en vinkel på 90 grader gör det möjligt att utföra olika operationer som tillåter tvåsidor och ett eller två hörn och en sida för att bestämma värdena för alla parametrar i figuren i fråga. Förr i tiden märkte människor detta mönster och började aktivt använda det vid konstruktion av byggnader, navigation, astronomi och till och med konst.
Inception
Inledningsvis talade man om förhållandet mellan vinklar och sidor uteslutande på exemplet med räta trianglar. Då upptäcktes speciella formler, som gjorde det möjligt att vidga gränserna för användningen i vardagen för denna sektion av matematik.
Studien av trigonometri i skolan i dag börjar med räta trianglar, varefter kunskapen som erhållits används av elever i fysik och att lösa abstrakta trigonometriska ekvationer, som arbetet med börjar i gymnasiet.
Sfärisk trigonometri
Senare, när vetenskapen nådde nästa utvecklingsnivå, började formler med sinus, cosinus, tangens, cotangens användas i sfärisk geometri, där andra regler gäller, och summan av vinklarna i en triangel är alltid mer än 180 grader. Det här avsnittet studeras inte i skolan, men det är nödvändigt att veta om dess existens, åtminstone eftersom jordens yta, och ytan på någon annan planet, är konvex, vilket betyder att varje markering av ytan kommer att vara "bågformad" " i tredimensionell rymd.
Ta en jordglob och en tråd. Fäst tråden på två valfria punkter på jordklotet så att den är spänd. Var uppmärksam - den har fått formen av en båge. Den handlar om sådana formersfärisk geometri som används inom geodesi, astronomi och andra teoretiska och tillämpade områden.
Höger triangel
Efter att ha lärt oss lite om sätten att använda trigonometri, låt oss återgå till grundläggande trigonometri för att ytterligare förstå vad sinus, cosinus, tangent är, vilka beräkningar som kan utföras med deras hjälp och vilka formler som ska användas.
Först och främst måste du förstå begreppen relaterade till en rätvinklig triangel. För det första är hypotenusan den sida som är motsatt 90 graders vinkeln. Hon är längst. Vi kommer ihåg att enligt Pythagoras sats är dess numeriska värde lika med roten av summan av kvadraterna på de andra två sidorna.
Till exempel, om två sidor är 3 respektive 4 centimeter, blir längden på hypotenusan 5 centimeter. Förresten, de gamla egyptierna visste om detta för ungefär fyra och ett halvt tusen år sedan.
De två återstående sidorna som bildar en rät vinkel kallas ben. Dessutom måste vi komma ihåg att summan av vinklarna i en triangel i ett rektangulärt koordinatsystem är 180 grader.
Definition
Slutligen, med en solid förståelse av den geometriska basen, kan vi vända oss till definitionen av sinus, cosinus och tangens för en vinkel.
Sinus för en vinkel är förhållandet mellan det motsatta benet (det vill säga sidan som är motsatt den önskade vinkeln) och hypotenusan. Cosinus för en vinkel är förhållandet mellan det intilliggande benet och hypotenusan.
Kom ihåg att varken sinus eller cosinus kan vara större än en! Varför?Eftersom hypotenusan som standard är den längsta sidan av en rätvinklig triangel. Oavsett hur långt benet är kommer det att vara kortare än hypotenusan, vilket innebär att deras förhållande alltid kommer att vara mindre än ett. Alltså, om du får en sinus eller cosinus med ett värde större än 1 i svaret på problemet, leta efter ett fel i beräkningar eller resonemang. Det här svaret är helt klart fel.
Slutligen är tangenten för en vinkel förhållandet mellan den motsatta sidan och den intilliggande sidan. Samma resultat kommer att ge divisionen av sinus med cosinus. Titta: enligt formeln delar vi längden på sidan med hypotenusan, varefter vi dividerar med längden på den andra sidan och multiplicerar med hypotenusan. Således får vi samma förhållande som i definitionen av tangenten.
Cotangent, respektive, är förhållandet mellan sidan som gränsar till hörnet och den motsatta sidan. Vi får samma resultat genom att dividera enheten med tangenten.
Så vi har övervägt definitionerna av vad som är sinus, cosinus, tangent och cotangens, och vi kan ta itu med formler.
Enkla formler
Inom trigonometri klarar man sig inte utan formler - hur hittar man sinus, cosinus, tangent, cotangens utan dem? Men det är precis vad som krävs för att lösa problem.
Den första formeln du behöver veta när du börjar studera trigonometri säger att summan av kvadraterna på sinus och cosinus i en vinkel är lika med ett. Den här formeln är en direkt följd av Pythagoras sats, men den sparar tid om du behöver ta reda på värdet på vinkeln, inte sidan.
Många elever kommer inte ihåg den andra formeln, också mycketpopulärt för att lösa skolproblem: summan av ett och kvadraten på tangenten för en vinkel är lika med en dividerad med kvadraten på vinkelns cosinus. Ta en närmare titt: trots allt är detta samma uttalande som i den första formeln, bara båda sidor av identiteten var dividerade med kvadraten på cosinus. Det visar sig att en enkel matematisk operation gör den trigonometriska formeln helt oigenkännlig. Kom ihåg: genom att veta vad en sinus, cosinus, tangent och cotangens är, omvandlingsreglerna och några grundläggande formler, kan du när som helst självständigt härleda de nödvändiga mer komplexa formlerna på ett papper.
Dubbelvinkelformler och tillägg av argument
Två ytterligare formler att lära sig är relaterade till sinus- och cosinusvärdena för summan och skillnaden av vinklar. De visas i figuren nedan. Observera att i det första fallet multipliceras sinus och cosinus båda gångerna, och i det andra fallet adderas den parvisa produkten av sinus och cosinus.
Det finns också formler förknippade med dubbelvinkelargument. De är helt härledda från de tidigare - som en övning, försök att få dem själv, ta vinkeln på alfa lika med vinkeln för beta.
Observera slutligen att dubbelvinkelformlerna kan konverteras för att minska graden av sinus, cosinus, tangent alfa.
Theorems
De två huvudsatserna i grundläggande trigonometri är sinussatsen och cosinussatsen. Med hjälp av dessa satser kan du enkelt förstå hur man hittar sinus, cosinus och tangent, och därav arean av figuren och storlekenvarje sida, etc.
Sinussatsen säger att som ett resultat av att dividera längden på var och en av sidorna i en triangel med värdet av den motsatta vinkeln får vi samma tal. Dessutom kommer detta tal att vara lika med två radier i den omskrivna cirkeln, dvs cirkeln som innehåller alla punkter i den givna triangeln.
Cosinussatsen generaliserar Pythagoras sats och projicerar den på alla trianglar. Det visar sig att från summan av kvadraterna på de två sidorna, subtrahera deras produkt, multiplicerat med den dubbla cosinus för vinkeln intill dem - det resulterande värdet kommer att vara lika med kvadraten på den tredje sidan. Pythagoras sats visar sig alltså vara ett specialfall av cosinussatsen.
Fetag på grund av ouppmärksamhet
Även om man vet vad sinus, cosinus och tangens är, är det lätt att göra ett misstag på grund av frånvaro eller ett fel i de enklaste beräkningarna. För att undvika sådana misstag, låt oss ta en titt på de mest populära.
Först av allt, konvertera inte vanliga bråk till decimaler innan du får det slutliga resultatet - du kan lämna svaret som ett vanligt bråk, om inte annat anges i villkoret. En sådan omvandling kan inte kallas ett misstag, men man bör komma ihåg att i varje skede av uppgiften kan nya rötter dyka upp, som enligt författarens idé bör reduceras. I det här fallet kommer du att slösa tid på onödiga matematiska operationer. Detta gäller särskilt för värden som roten av tre eller två, eftersom de förekommer i uppgifter vid varje steg. Detsamma gäller avrundning."fula" siffror.
Nästa, notera att cosinussatsen gäller för vilken triangel som helst, men inte Pythagoras sats! Om du av misstag glömmer att subtrahera två gånger produkten av sidorna multiplicerat med cosinus för vinkeln mellan dem, kommer du inte bara att få ett helt fel resultat, utan också visa ett fullständigt missförstånd av ämnet. Det här är värre än ett slarvigt misstag.
För det tredje, blanda inte ihop värdena för vinklar på 30 och 60 grader för sinus, cosinus, tangenter, cotangenter. Kom ihåg dessa värden, eftersom sinus på 30 grader är lika med cosinus på 60 och vice versa. Det är lätt att blanda ihop dem, och du kommer oundvikligen att få ett felaktigt resultat.
Application
Många studenter har ingen brådska att börja studera trigonometri, eftersom de inte förstår dess tillämpade innebörd. Vad är sinus, cosinus, tangent för en ingenjör eller astronom? Dessa är begrepp tack vare vilka du kan beräkna avståndet till avlägsna stjärnor, förutsäga en meteorits fall, skicka en forskningssond till en annan planet. Utan dem är det omöjligt att bygga en byggnad, designa en bil, beräkna belastningen på ytan eller ett objekts bana. Och det här är bara de mest uppenbara exemplen! Trots allt används trigonometri i en eller annan form överallt, från musik till medicin.
Avslutningsvis
Så, du vet vad sinus, cosinus, tangens är. Du kan använda dem i beräkningar och framgångsrikt lösa skolproblem.
Hela poängentrigonometri reduceras till det faktum att enligt triangelns kända parametrar är det nödvändigt att beräkna de okända. Det finns sex parametrar tot alt: längden på tre sidor och storleken på tre vinklar. Hela skillnaden i uppgifterna ligger i att olika indata ges.
Hur man hittar sinus, cosinus, tangent baserat på de kända längderna på benen eller hypotenusan vet du nu. Eftersom dessa termer inte betyder något mer än ett förhållande, och ett förhållande är en bråkdel, är huvudmålet med det trigonometriska problemet att hitta rötterna till en vanlig ekvation eller ett ekvationssystem. Och här kommer den vanliga skolmatematiken att hjälpa dig.
