Begreppet prisma. Volymformler för prismor av olika typer: regelbundna, raka och sneda. Lösningen på problemet

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2023-12-17 05:42

Volym är en egenskap hos alla figurer som har dimensioner som inte är noll i alla tre dimensionerna av rymden. I den här artikeln, ur stereometrins synvinkel (geometrin hos rumsliga figurer), kommer vi att överväga ett prisma och visa hur man hittar volymen av prismor av olika typer.

Vad är ett prisma?

Stereometri har det exakta svaret på denna fråga. Ett prisma i det förstås som en figur bildad av två identiska polygonala ytor och flera parallellogram. Bilden nedan visar fyra olika prismor.

Var och en av dem kan erhållas enligt följande: du måste ta en polygon (triangel, fyrhörning, och så vidare) och ett segment med en viss längd. Sedan ska varje hörn av polygonen överföras med hjälp av parallella segment till ett annat plan. I det nya planet, som kommer att vara parallellt med det ursprungliga, kommer en ny polygon att erhållas, liknande den som valdes från början.

Prismer kan vara av olika typer. Så de kan vara raka, sneda och korrekta. Om prismats sidokant (segment,ansluter basernas hörn) vinkelrätt mot figurens baser, då är den senare en rak linje. Följaktligen, om detta villkor inte är uppfyllt, talar vi om ett lutande prisma. En vanlig figur är ett höger prisma med en likvinklig och liksidig bas.

Längre fram i artikeln kommer vi att visa hur man beräknar volymen för var och en av dessa typer av prismor.

Volym av vanliga prismor

Låt oss börja med det enklaste fallet. Vi ger formeln för volymen av ett vanligt prisma med en n-gonal bas. Volymformeln V för alla figurer i den aktuella klassen är följande:

V=S_oh.

Det vill säga, för att bestämma volymen räcker det att beräkna arean av en av baserna S_o och multiplicera den med höjden h på figuren.

I fallet med ett vanligt prisma, låt oss beteckna längden på sidan av dess bas med bokstaven a och höjden, som är lika med längden på sidokanten, med bokstaven h. Om basen för n-gon är korrekt, är det enklaste sättet att beräkna dess area att använda följande universella formel:

S=n/4a²ctg(pi/n).

Genom att ersätta värdet av antalet sidor n och längden på en sida a med likhet, kan du beräkna arean av den n-gonala basen. Observera att cotangensfunktionen här beräknas för vinkeln pi/n, som uttrycks i radianer.

Med tanke på likheten skriven för S, får vi den slutliga formeln för volymen av ett reguljärt prisma:

V=n/4a²hctg(pi/n).

För varje specifikt fall kan du skriva motsvarande formler för V, men allaunikt följer av det skriftliga allmänna uttrycket. Till exempel, för ett vanligt fyrkantigt prisma, som i det allmänna fallet är en rektangulär parallellepiped, får vi:

V₄=4/4a²hctg(pi/4)=a² h.

Om vi tar h=a i detta uttryck, får vi formeln för kubens volym.

Volym av direkta prismor

Vi noterar direkt att det för raka figurer inte finns någon generell formel för beräkning av volym, som gavs ovan för vanliga prismor. När du hittar värdet i fråga ska det ursprungliga uttrycket användas:

V=S_oh.

Här är h längden på sidokanten, som i föregående fall. När det gäller basområdet S_o, kan det anta en mängd olika värden. Uppgiften att beräkna ett rakt prisma av volym reduceras till att hitta arean av dess bas.

Beräkningen av värdet på S_obör utföras baserat på egenskaperna hos själva basen. Om det till exempel är en triangel kan arean beräknas så här:

S_o3=1/2ah_a.

Här är h_a triangelns apotem, det vill säga dess höjd sänkt till basen a.

Om basen är en fyrhörning, kan den vara en trapets, ett parallellogram, en rektangel eller en helt godtycklig typ. För alla dessa fall bör du använda lämplig planimetriformel för att bestämma arean. Till exempel, för en trapets, ser denna formel ut så här:

S_o4=1/2(a₁+ a₂)h _a.

Där h_a är trapetsens höjd, a₁ och a₂ är längderna av dess parallella sidor.

För att bestämma arean för polygoner av högre ordning bör du dela upp dem i enkla former (trianglar, fyrkanter) och beräkna summan av de senares ytor.

lutad prismavolym

Detta är det svåraste fallet att beräkna volymen av ett prisma. Den allmänna formeln för sådana siffror gäller också:

V=S_oh.

Men till komplexiteten i att hitta arean av basen som representerar en godtycklig typ av polygon, läggs problemet med att bestämma höjden på figuren. Den är alltid mindre än längden på sidokanten i ett lutande prisma.

Det enklaste sättet att hitta den här höjden är om du känner till någon vinkel på figuren (platt eller dihedral). Om en sådan vinkel ges, så ska man använda den för att konstruera en rätvinklig triangel inuti prismat, som skulle innehålla höjden h som en av sidorna och, med hjälp av trigonometriska funktioner och Pythagoras sats, hitta värdet h.

Geometriskt volymproblem

Ges ett vanligt prisma med en triangulär bas, med en höjd av 14 cm och en sidolängd av 5 cm. Vilken volym har det triangulära prismat?

Eftersom vi talar om rätt siffra har vi rätt att använda den välkända formeln. Vi har:

V₃=3/4a²hctg(pi/3)=3/45²141/√3=√3/42514=151,55 cm³.

Ett triangulärt prisma är en ganska symmetrisk figur, i form av vilken olika arkitektoniska strukturer ofta tillverkas. Detta glasprisma används i optik.