Hur beräknar man arean av en pyramid: bas, sida och hel?

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2023-12-17 05:42

När de förbereder sig för tentamen i matematik måste eleverna systematisera sina kunskaper om algebra och geometri. Jag skulle vilja kombinera all känd information, till exempel hur man beräknar arean av en pyramid. Dessutom, från basen och sidoytorna till hela ytan. Om situationen är tydlig med sidoytorna, eftersom de är trianglar, är basen alltid annorlunda.

Hur hittar man området för pyramidens bas?

Det kan vara absolut vilken form som helst: från en godtycklig triangel till en n-gon. Och denna bas, förutom skillnaden i antalet vinklar, kan vara en vanlig figur eller en felaktig. I USE-uppgifterna av intresse för skolbarn finns det bara uppgifter med rätt siffror i basen. Därför kommer vi bara att prata om dem.

Regular Triangle

Det är liksidigt. En där alla sidor är lika och betecknas med bokstaven "a". I det här fallet beräknas arean av pyramidens bas med formeln:

S=(a2√3) / 4.

Square

Formeln för att beräkna dess area är den enklaste,här är "a" sidan igen:

S=a2.

Godycklig regelbunden n-gon

Siden på en polygon har samma beteckning. För antalet hörn används den latinska bokstaven n.

S=(na2) / (4tg (180º/n)).

Hur beräknar man lateral och total yta?

Eftersom basen är en vanlig figur är alla sidor av pyramiden lika. Dessutom är var och en av dem en likbent triangel, eftersom sidokanterna är lika. Sedan, för att beräkna sidoarean av pyramiden, behöver du en formel som består av summan av identiska monomialer. Antalet termer bestäms av antalet sidor av basen.

Arean av en likbent triangel beräknas med formeln där halva produkten av basen multipliceras med höjden. Denna höjd i pyramiden kallas apotem. Dess beteckning är "A". Den allmänna formeln för lateral yta är:

S=½ PA, där P är omkretsen av pyramidens bas.

Det finns situationer när sidorna av basen inte är kända, men sidokanterna (c) och den platta vinkeln vid dess vertex (α) är givna. Sedan är det meningen att den här formeln ska användas för att beräkna pyramidens laterala area:

S=n/2in2 sin α.

Problem 1

Skicka. Hitta den totala arean av pyramiden om dess bas är en liksidig triangel med en sida på 4 cm och apotem är √3 cm.

Beslut. HansDu måste börja med att beräkna basens omkrets. Eftersom detta är en vanlig triangel, då P \u003d 34 \u003d 12 cm. Eftersom apotem är känt kan du omedelbart beräkna arean av hela sidoytan: ½12√3=6 √3 cm 2.

För en triangel vid basen får du följande areavärde: (4²√3) / 4=4√3 cm^2.

För att bestämma den totala arean måste du lägga till de två resulterande värdena: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.

Svar. 10√3cm2.

Problem 2

Skicka. Det finns en vanlig fyrkantig pyramid. Längden på sidan av basen är 7 mm, sidokanten är 16 mm. Du måste känna till dess yta.

Beslut. Eftersom polyedern är fyrkantig och regelbunden, är dess bas en kvadrat. Efter att ha lärt sig områdena för bas- och sidoytorna kommer det att vara möjligt att beräkna pyramidens yta. Formeln för kvadraten ges ovan. Och vid sidoytorna är alla sidor av triangeln kända. Därför kan du använda Herons formel för att beräkna deras arealer.

De första beräkningarna är enkla och leder till detta tal: 49 mm². För det andra värdet måste du beräkna halvomkretsen: (7 + 162): 2=19,5 mm. Nu kan du beräkna arean av en likbent triangel: √(19,5(19,5-7)(19,5-16)²)=√2985,9375=54,644 mm ^{2. Det finns bara fyra sådana trianglar, så när du beräknar det slutliga talet måste du multiplicera det med 4.}

Det visar sig: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.

Svar. Önskevärde 267,576mm2.

Problem 3

Skicka. För en vanlig fyrkantig pyramid måste du beräkna arean. Den känner till sidan av kvadraten - 6 cm och höjden - 4 cm.

Beslut. Det enklaste sättet är att använda formeln med produkten av omkretsen och apotem. Det första värdet är lätt att hitta. Det andra är lite svårare.

Vi måste komma ihåg Pythagoras sats och överväga en rätvinklig triangel. Den bildas av höjden på pyramiden och apotem, som är hypotenusan. Det andra benet är lika med halva sidan av kvadraten, eftersom polyederns höjd faller in i dess mitt.

Den önskade apotem (hypotenusan i en rätvinklig triangel) är √(3² + 4^{2)=5 (cm).}

Nu kan du beräkna det önskade värdet: ½(46)5+6²=96 (se^2).

Svar. 96 cm2.

Problem 4

Skicka. Givet en vanlig sexkantig pyramid. Sidorna på dess bas är 22 mm, sidoribborna är 61 mm. Vilken är den laterala ytan av denna polyeder?

Beslut. Resonemanget i den är detsamma som beskrivs i problem nr 2. Bara där gavs en pyramid med en kvadrat vid basen, och nu är den en hexagon.

Först och främst beräknas arean av basen med hjälp av formeln ovan: (622²) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm^2.

Nu måste du ta reda på halvomkretsen av en likbent triangel, vilket är sidoytan. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm. Det återstår att beräkna arean för en sådan strandtriangel och multiplicera den med sex och lägg till den som blev basen.

Beräkning med Herons formel: √(72(72-22)(72-61)²)=√435600=660 cm² . Beräkningar som ger den laterala ytarean: 6606=3960 cm². Det återstår att lägga ihop dem för att ta reda på hela ytan: 5217, 47≈5217 cm^2.

Svar. Bas - 726√3cm², sidoyta - 3960cm², total area - 5217cm^2.