Uppkomsten av begreppet integral berodde på behovet av att hitta antiderivatans funktion genom dess derivata, såväl som att bestämma mängden arbete, arean av komplexa figurer, tillryggalagd sträcka, med parametrar som beskrivs av kurvor som beskrivs av olinjära formler.
Från kurs
och fysiken vet att arbete är lika med produkten av kraft och avstånd. Om all rörelse sker med konstant hastighet eller om avståndet övervinns med applicering av samma kraft, är allt klart, du behöver bara multiplicera dem. Vad är en integral av en konstant? Detta är en linjär funktion av formen y=kx+c.
Men kraften under arbetet kan förändras, och i något slags naturligt beroende. Samma situation uppstår vid beräkning av tillryggalagd sträcka om hastigheten inte är konstant.
Så det är klart vad integralen är till för. Dess definition som summan av produkterna av funktionsvärden med en oändlig ökning av argumentet beskriver helt och hållet huvudinnebörden av detta koncept som arean av en figur som avgränsas ovanifrån av funktionens linje, och vid kanterna vid definitionens gränser.
Jean Gaston Darboux, fransk matematiker, under andra halvan av XIXårhundradet mycket tydligt förklarat vad en integral är. Han gjorde det så tydligt att det i allmänhet inte skulle vara svårt ens för en högstadieelev att förstå denna fråga.
Låt oss säga att det finns en funktion av vilken komplex form som helst. Y-axeln, på vilken värdena för argumentet plottas, är uppdelad i små intervall, idealiskt är de oändligt små, men eftersom begreppet oändlighet är ganska abstrakt, räcker det med att föreställa sig bara små segment, värdet varav vanligtvis betecknas med den grekiska bokstaven Δ (delta).
Funktionen visade sig vara "skuren" i små tegelstenar.
Varje argumentvärde motsvarar en punkt på y-axeln, på vilken motsvarande funktionsvärden plottas. Men eftersom det valda området har två gränser kommer det också att finnas två värden på funktionen, fler och färre.
Summan av produkterna med större värden med inkrementet Δ kallas den stora Darboux-summan och betecknas som S. Följaktligen, de mindre värdena i ett begränsat område, multiplicerat med Δ, alla tillsammans bilda en liten Darboux summa s. Sektionen i sig liknar en rektangulär trapets, eftersom krökningen av funktionens linje med dess oändliga inkrement kan försummas. Det enklaste sättet att hitta arean för en sådan geometrisk figur är att lägga till produkterna av det större och mindre värdet av funktionen med Δ-inkrementet och dividera med två, det vill säga bestämma det som det aritmetiska medelvärdet.
Det här är vad Darboux-integralen är:
s=Σf(x) Δ är ett litet belopp;
S=Σf(x+Δ)Δ är en stor summa.
Så vad är en integral? Området som begränsas av funktionslinjen och definitionsgränserna kommer att vara:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
Det vill säga det aritmetiska medelvärdet av stora och små Darboux-summor.c är ett konstant värde som sätts till noll under differentiering.
Baserat på det geometriska uttrycket för detta koncept blir den fysiska innebörden av integralen tydlig. Arean av figuren, skisserad av hastighetsfunktionen, och begränsad av tidsintervallet längs abskissaxeln, kommer att vara längden på den färdade banan.
L=∫f(x)dx på intervallet från t1 till t2, Where
f(x) – hastighetsfunktion, det vill säga formeln med vilken den ändras över tiden;
L – väglängd;
t1 – starttid;
t2 – resans sluttid.
Exakt enligt samma princip bestäms arbetsmängden, endast avståndet kommer att plottas längs abskissan, och mängden kraft som appliceras vid varje särskild punkt kommer att plottas längs ordinatan.
