I praktiken uppstår ofta uppgifter som kräver förmågan att bygga sektioner av geometriska former av olika former och hitta sektionsarean. I den här artikeln kommer vi att titta på hur viktiga delar av ett prisma, en pyramid, en kon och en cylinder är byggda och hur man beräknar deras area.
3D-figurer
Från stereometri är det känt att en tredimensionell figur av absolut vilken typ som helst begränsas av ett antal ytor. Till exempel, för sådana polyedrar som ett prisma och en pyramid, är dessa ytor de polygonala sidorna. För en cylinder och en kon talar vi om rotationsytor av cylindriska och koniska figurer.
Om vi tar ett plan och godtyckligt skär ytan på en tredimensionell figur får vi ett snitt. Dess yta är lika med arean av den del av planet som kommer att vara inuti figurens volym. Minimivärdet för detta område är noll, vilket realiseras när planet vidrör figuren. Till exempel erhålls en sektion som bildas av en enda punkt om planet passerar genom toppen av en pyramid eller kon. Det maximala värdet för tvärsnittsarean beror påfigurens och planets relativa position, samt figurens form och storlek.
Nedan kommer vi att överväga hur man beräknar arean av formade sektioner för två varvtal (cylinder och kon) och två polyedrar (pyramid och prisma).
Cylinder
Cirkulär cylinder är en rotationsfigur av en rektangel runt någon av dess sidor. Cylindern kännetecknas av två linjära parametrar: basradie r och höjd h. Diagrammet nedan visar hur en cirkulär rak cylinder ser ut.
Det finns tre viktiga avsnittstyper för denna figur:
- runda;
- rektangulär;
- elliptisk.
Elliptisk bildas som ett resultat av att planet skär figurens sidoyta i någon vinkel mot dess bas. Rund är resultatet av skärningen av skärplanet på sidoytan parallellt med cylinderns bas. Slutligen erhålls en rektangulär sådan om skärplanet är parallellt med cylinderns axel.
Cirkulär area beräknas med formeln:
S1=pir2
Arean av den axiella sektionen, dvs. rektangulär, som passerar genom cylinderns axel, definieras enligt följande:
S2=2rh
konsektioner
En kon är en rotationsfigur av en rätvinklig triangel runt ett av benen. Konen har en topp och en rund bas. Dess parametrar är också radie r och höjd h. Ett exempel på en papperskon visas nedan.
Det finns flera typer av koniska sektioner. Låt oss lista dem:
- runda;
- elliptisk;
- parabolisk;
- hyperbolisk;
- triangular.
De ersätter varandra om du ökar sekantplanets lutningsvinkel relativt den runda basen. Det enklaste sättet är att skriva ner formlerna för tvärsnittsarean av cirkulär och triangulär.
En cirkulär sektion bildas som ett resultat av skärningen av en konisk yta med ett plan som är parallellt med basen. För dess område är följande formel giltig:
S1=pir2z2/h 2
Här är z avståndet från toppen av figuren till den bildade sektionen. Det kan ses att om z=0, så passerar planet endast genom vertexet, så arean S1 blir lika med noll. Sedan z < h kommer arean av den sektion som studeras alltid att vara mindre än dess värde för basen.
Triangulär erhålls när planet skär figuren längs dess rotationsaxel. Formen på den resulterande sektionen kommer att vara en likbent triangel, vars sidor är diametern på basen och två generatorer av konen. Hur hittar man tvärsnittsarean för en triangulär? Svaret på denna fråga kommer att vara följande formel:
S2=rh
Denna likhet erhålls genom att tillämpa formeln för arean av en godtycklig triangel genom längden av dess bas och höjd.
prismasektioner
Prism är en stor klass av figurer som kännetecknas av närvaron av två identiska polygonala baser parallella med varandra,sammankopplade med parallellogram. Varje sektion av ett prisma är en polygon. Med tanke på mångfalden av figurerna under övervägande (sned, raka, n-gonala, regelbundna, konkava prismor) är variationen av deras sektioner också stor. Nedan tar vi bara hänsyn till några specialfall.
Om skärplanet är parallellt med basen, kommer prismats tvärsnittsarea att vara lika med arean av denna bas.
Om planet passerar genom de två basernas geometriska mittpunkter, det vill säga det är parallellt med figurens sidokanter, så bildas ett parallellogram i snittet. I fallet med raka och regelbundna prismor kommer den betraktade sektionsvyn att vara en rektangel.
Pyramid
Pyramid är en annan polyeder som består av en n-gon och n trianglar. Ett exempel på en triangulär pyramid visas nedan.
Om sektionen är ritad av ett plan parallellt med den n-gonala basen, kommer dess form att vara exakt lika med formen på basen. Arean av en sådan sektion beräknas med formeln:
S1=So(h-z)2/h 2
Där z är avståndet från basen till sektionsplanet, So är arean av basen.
Om skärplanet innehåller toppen av pyramiden och skär dess bas, får vi en triangulär sektion. För att beräkna dess area måste du använda lämplig formel för en triangel.
