Lagen om bevarande av momentum och vinkelmomentum: ett exempel på att lösa problemet

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-02 17:56

När du ska lösa problem i fysik om objekts rörelse visar det sig ofta vara användbart att tillämpa lagen om bevarande av momentum. Vad som är drivkraften för kroppens linjära och cirkulära rörelse, och vad som är kärnan i lagen om bevarande av detta värde, diskuteras i artikeln.

Begreppet linjärt momentum

Historiska data visar att detta värde för första gången övervägdes i hans vetenskapliga arbeten av Galileo Galilei i början av 1600-talet. Därefter kunde Isaac Newton harmoniskt integrera begreppet momentum (ett mer korrekt namn på momentum) i den klassiska teorin om objekts rörelse i rymden.

Beteckna momentum som p¯, då kommer formeln för dess beräkning att skrivas som:

p¯=mv¯.

Här är m massan, v¯ är hastigheten (vektorvärdet) för rörelsen. Denna likhet visar att mängden rörelse är den hastighet som är karakteristisk för ett föremål, där massan spelar rollen som en multiplikationsfaktor. Antal rörelserär en vektorkvantitet som pekar i samma riktning som hastigheten.

Intuitivt, ju högre rörelsehastigheten och kroppens massa är, desto svårare är det att stoppa den, det vill säga desto större rörelseenergi har den.

Mängden rörelse och dess förändring

Du kan gissa att för att ändra kroppens p¯-värde måste du använda lite kraft. Låt kraften F¯ verka under tidsintervallet Δt, då tillåter Newtons lag oss att skriva likheten:

F¯Δt=ma¯Δt; därför F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.

Värdet lika med produkten av tidsintervallet Δt och kraften F¯ kallas impulsen för denna kraft. Eftersom det visar sig vara lika med förändringen i momentum, kallas det senare ofta helt enkelt momentum, vilket tyder på att någon yttre kraft F¯ skapade det.

Anledningen till förändringen i momentumet är alltså den yttre kraftens momentum. Värdet på Δp¯ kan leda både till en ökning av värdet på p¯ om vinkeln mellan F¯ och p¯ är spetsig, och till en minskning av modulen för p¯ om denna vinkel är trubbig. De enklaste fallen är kroppens acceleration (vinkeln mellan F¯ och p¯ är noll) och dess retardation (vinkeln mellan vektorerna F¯ och p¯ är 180o).

När momentum bevaras: lag

Om kroppen inte är detyttre krafter verkar, och alla processer i den begränsas endast av den mekaniska växelverkan mellan dess komponenter, då förblir varje komponent i momentum oförändrad under en godtyckligt lång tid. Detta är lagen om bevarande av kroppars momentum, som är matematiskt skriven enligt följande:

p¯=∑_ip_{i¯=const or}

∑_ip_ix=const; ∑_ip_iy=const; ∑_ip_iz=konst.

Det nedsänkta i är ett heltal som räknar upp systemets objekt, och indexen x, y, z beskriver momentumkomponenterna för var och en av koordinataxlarna i det kartesiska rektangulära systemet.

I praktiken är det ofta nödvändigt att lösa endimensionella problem för kollisioner av kroppar, när de initiala förhållandena är kända, och det är nödvändigt att fastställa systemets tillstånd efter sammanstötningen. I det här fallet är momentum alltid bevarat, vilket inte kan sägas om kinetisk energi. Den senare före och efter påverkan kommer att vara oförändrad endast i ett enda fall: när det finns en absolut elastisk interaktion. För detta fall av kollision mellan två kroppar som rör sig med hastigheterna v₁ och v_{2, kommer formeln för bevarande av momentum att ha formen:}

m₁ v₁ + m₂ v ₂=m₁ u₁ + m₂ u 2_.

Här karaktäriserar hastigheterna u₁ och u_{2 kropparnas rörelser efter nedslaget. Observera att i denna form av bevarandelagen är det nödvändigt att ta hänsyn till tecknet för hastigheterna: om de är riktade mot varandra, bör en taspositiv och den andra negativ.}

För en perfekt oelastisk kollision (två kroppar håller ihop efter kollisionen), har lagen om bevarande av momentum formen:

m₁ v₁ + m₂ v ₂=(m₁+ m_2)u.

Lösning av problemet med lagen om bevarande av p¯

Låt oss lösa följande problem: två bollar rullar mot varandra. Massorna på bollarna är desamma och deras hastigheter är 5 m/s och 3 m/s. Förutsatt att det är en absolut elastisk kollision är det nödvändigt att hitta kulornas hastigheter efter den.

Med hjälp av momentumkonserveringslagen för det endimensionella fallet, och med hänsyn till att den kinetiska energin bevaras efter nedslaget, skriver vi:

v_{1 -} v₂=u₁ + u _2;

v₁² + v₂^2=u12 ^{+ u}22^.

Här minskade vi omedelbart massan av bollarna på grund av deras jämlikhet, och tog även hänsyn till att kropparna rör sig mot varandra.

Det är lättare att fortsätta lösa systemet om du ersätter känd data. Vi får:

5 - 3 - u₂=u_1;

5²+ 3²=u₁²+ u₂^2.

Om du ersätter u_{1 i den andra ekvationen får vi:}

2 - u₂=u_1;

34=(2 - u₂)²+u₂ 2^{=4 - 4u}2 _{+ 2u}22^{; därav,u}22^{- 2u}2 _{- 15=0.}

Vi har den klassiska andragradsekvationen. Vi löser det genom diskriminanten, vi får:

D=4 - 4(-15)=64.

u_{2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) m/c.}

Vi har två lösningar. Om vi ersätter dem med det första uttrycket och definierar u₁, får vi följande värde: u₁=-3 m/s, u ₂=5 m/s; u₁=5 m/s, u_{2=-3 m/s. Det andra sifferparet anges i problemets tillstånd, så det motsvarar inte den verkliga fördelningen av hastigheter efter nedslaget.}

Därmed återstår bara en lösning: u₁=-3 m/s, u_{2=5 m/s. Detta märkliga resultat innebär att vid en central elastisk kollision byter två bollar med samma massa helt enkelt sina hastigheter.}

Moment of momentum

Allt som sades ovan hänvisar till den linjära typen av rörelse. Det visar sig dock att liknande mängder kan införas även vid cirkulär förskjutning av kroppar kring en viss axel. Vinkelmomentet, som också kallas impulsmomentum, beräknas som produkten av vektorn som förbinder materialpunkten med rotationsaxeln och momentum för denna punkt. Det vill säga formeln äger rum:

L¯=r¯p¯, där p¯=mv¯.

Momentum, liksom p¯, är en vektor som är riktad vinkelrätt mot planet byggt på vektorerna r¯ och p¯.

Värdet på L¯ är en viktig egenskap hos ett roterande system, eftersom det bestämmer energin som lagras i det.

Moment of momentum och bevarandelag

Vinkelmomentet bevaras om inga yttre krafter verkar på systemet (vanligtvis säger man att det inte finns något kraftmoment). Uttrycket i föregående stycke kan, genom enkla omvandlingar, skrivas i en form som är bekvämare för övning:

L¯=Iω¯, där I=mr2 är materialpunktens tröghetsmoment, ω¯ är vinkelhastigheten.

Tröghetsmomentet I, som förekom i uttrycket, har exakt samma betydelse för rotation som den vanliga massan för linjär rörelse.

Om det finns någon intern omarrangering av systemet, där I ändras, så förblir inte heller ω¯ konstant. Dessutom sker förändringen i båda fysiska storheterna på ett sådant sätt att likheten nedan förblir giltig:

I₁ ω₁¯=I₂ ω _2¯.

Detta är lagen för bevarande av rörelsemängd L¯. Dess manifestation observerades av varje person som åtminstone en gång deltog i balett eller konståkning, där idrottare utför piruetter med rotation.