Definition och storlek på Graham-talet

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-15 17:30

Vid ordet "oändlighet" har varje person sina egna associationer. Många ritar i sin fantasi havet som går bortom horisonten, medan andra har en bild av en oändlig stjärnhimmel framför ögonen. Matematiker, vana vid att arbeta med siffror, föreställer sig oändligheten på ett helt annat sätt. I många århundraden har de försökt hitta den största av de fysiska storheter som krävs för att mäta. En av dem är Graham-numret. Hur många nollor som finns i den och vad den används till kommer den här artikeln att berätta.

Oändligt stort antal

I matematik är detta namnet på en sådan variabel x , om man för ett givet positivt tal M kan ange ett naturligt tal N så att för alla tal n större än N ojämlikheten |x _{| > M. Men nej, till exempel heltal Z kan anses vara oändligt stort, eftersom det alltid kommer att vara mindre än (Z + 1).}

Några ord om "jättar"

De största talen som har fysisk betydelse anses vara:

1080. Detta tal, som vanligtvis kallas en quinquavigintillion, används för att beteckna det ungefärliga antalet kvarkar och leptoner (de minsta partiklarna) i universum.
1 Google. Ett sådant tal i decimalsystemet skrivs som en enhet med 100 nollor. Enligt vissa matematiska modeller, från tiden för den stora smällen till explosionen av det mest massiva svarta hålet, bör från 1 till 1,5 googol år passera, varefter vårt universum kommer att gå in i det sista stadiet av dess existens, det vill säga vi kan anta att detta nummer har en viss fysisk betydelse.
8, 5 x 10¹⁸⁵. Plancks konstant är 1,616199 x 10^-35 m, d.v.s. i decimalnotation ser det ut som 0,000000000000000000000000000000616199 m. Det finns ungefär 1 googol Planck-längd på en tum. Det uppskattas att cirka 8,5 x 10^{185 Planck-längder kan passa i hela vårt universum.}
2^{77 232 917} – 1. Detta är det största kända primtalet. Om dess binära notation har en ganska kompakt form, kommer den att ta inte mindre än 13 miljoner tecken för att avbilda den i decimalform. Den hittades 2017 som en del av ett projekt för att söka efter Mersenne-nummer. Om entusiaster fortsätter att arbeta i den här riktningen, är det osannolikt att de på den nuvarande utvecklingsnivån för datorteknik inom en snar framtid kommer att kunna hitta ett Mersenne-nummer en storleksordning större än 2^{77 232 917- 1, fastän sådanden lyckliga vinnaren får 150 000 USD.}
Hugoplex. Här tar vi bara 1 och lägger till nollor efter den i mängden 1 googol. Du kan skriva detta nummer som 10^10^100. Det är omöjligt att representera det i decimalform, för om hela utrymmet i universum är fyllt med pappersbitar, på vilka 0 skulle skrivas med en "Word"-teckenstorlek på 10, så är det i detta fall bara hälften av alla 0 efter 1 skulle erhållas för googolplex-numret.
10^10^10^10^10^1.1. Detta är en siffra som visar antalet år efter vilka, enligt Poincaré-satsen, vårt universum, som ett resultat av slumpmässiga kvantfluktuationer, kommer att återgå till ett tillstånd nära idag.

Hur Grahams siffror kom till

År 1977 publicerade den välkände vetenskapens popularisator Martin Gardner en artikel i Scientific American om Grahams bevis på ett av problemen med Ramses teori. I den kallade han den gräns som vetenskapsmannen satt för det största antalet som någonsin använts i seriösa matematiska resonemang.

Vem är Ronald Lewis Graham

Forskaren, nu i 80-årsåldern, föddes i Kalifornien. 1962 fick han en doktorsexamen i matematik från University of Berkeley. Han arbetade på Bell Labs i 37 år och flyttade senare till AT&T Labs. Forskaren samarbetade aktivt med en av 1900-talets största matematiker, Pal Erdős, och har vunnit många prestigefyllda utmärkelser. Grahams vetenskapliga bibliografi innehåller mer än 320 vetenskapliga artiklar.

I mitten av 70-talet var vetenskapsmannen intresserad av problemet i samband med teorinRamsey. I sitt bevis fastställdes lösningens övre gräns, vilket är ett mycket stort antal, senare uppkallat efter Ronald Graham.

Hyperkubproblem

För att förstå kärnan i Graham-numret måste du först förstå hur det erhölls.

Forskaren och hans kollega Bruce Rothschild löste följande problem:

Det finns en n-dimensionell hyperkub. Alla par av dess hörn är sammankopplade på ett sådant sätt att en komplett graf med 2hörn erhålls. Var och en av dess kanter är färgade antingen blå eller röd. Det krävdes att hitta det minsta antalet hörn som en hyperkub skulle ha så att varje sådan färgning innehåller en komplett monokromatisk subgraf med 4 hörn liggande i samma plan.

Beslut

Graham och Rothschild bevisade att problemet har en lösning N' som uppfyller villkoret 6 ⩽ N' ⩽N där N är ett väldefinierat, mycket stort tal.

Den nedre gränsen för N förfinades senare av andra forskare, som bevisade att N måste vara större än eller lika med 13. Således blev uttrycket för det minsta antalet hörn i en hyperkub som uppfyller villkoren ovan 13 ⩽ N'⩽ N.

Knuths pilnotation

Innan du definierar Graham-talet bör du bekanta dig med metoden för dess symboliska representation, eftersom varken decimal eller binär notation är absolut lämplig för detta.

För närvarande används Knuths pilnotation för att representera denna kvantitet. Enligt henne:

ab=en "uppåtpil" b.

För driften av multipel exponentiering introducerades posten:

a "uppåtpil" "uppåtpil" b=ab="ett torn bestående av a i mängden b bitar."

Och för pentation, d.v.s. symbolisk beteckning på upprepad exponentiering av den tidigare operatorn, använde Knuth redan 3 pilar.

Med denna notation för Graham-numret har vi "pil"-sekvenser kapslade i varandra, i mängden 64 st.

Scale

Deras berömda nummer, som väcker fantasin och utvidgar gränserna för mänskligt medvetande och tar det bortom universums gränser, Graham och hans kollegor fick det som en övre gräns för talet N i beviset på hyperkuben problem som presenteras ovan. Det är extremt svårt för en vanlig människa att föreställa sig hur stor dess skala är.

Frågan om antalet tecken, eller som det ibland felaktigt sägs, nollor i Grahams nummer, är av intresse för nästan alla som hör talas om detta värde för första gången.

Det räcker med att säga att vi har att göra med en snabbt växande sekvens som består av 64 medlemmar. Även dess första term är omöjlig att föreställa sig, eftersom den består av n "torn", bestående av 3-to. Redan dess "nedre våning" på 3 trippel är lika med 7 625 597 484 987, d.v.s. den överstiger 7 miljarder, vilket vill säga på 64:e våningen (inte medlem!). Det är alltså för närvarande omöjligt att säga exakt vad Graham-talet är, eftersom det inte räcker att beräkna det.den kombinerade kraften hos alla datorer som finns på jorden idag.

Rekord brutet?

I processen att bevisa Kruskals teorem, "kastades Grahams nummer av sin piedestal". Forskaren föreslog följande problem:

Det finns en oändlig sekvens av ändliga träd. Kruskal bevisade att det alltid finns ett avsnitt av någon graf, som både är en del av en större graf och dess exakta kopia. Detta uttalande väcker inga tvivel, eftersom det är uppenbart att det alltid kommer att finnas en exakt upprepande kombination i oändligheten

Senare minskade Harvey Friedman detta problem något genom att endast överväga sådana acykliska grafer (träd) att det för en viss med koefficient i finns högst (i + k) hörn. Han bestämde sig för att ta reda på hur många acykliska grafer skulle vara, så att det med denna metod för deras uppgift alltid skulle vara möjligt att hitta ett underträd som skulle vara inbäddat i ett annat träd.

Som ett resultat av forskning i denna fråga fann man att N, beroende på k, växer med en enorm hastighet. Speciellt om k=1, så är N=3. Men vid k=2 når N redan 11. Det mest intressanta börjar när k=3. I det här fallet "tar sig N" snabbt och når ett värde som är många gånger större än Graham-talet. För att föreställa sig hur stort det är räcker det med att skriva ner det antal som Ronald Graham beräknat i form av G64 (3). Då kommer Friedman-Kruskal-värdet (rev. FinKraskal(3)), att vara av storleksordningen G(G(187196)). Med andra ord erhålls ett megavärde som är oändligt mycket störreett ofattbart stort Graham-tal. Samtidigt kommer även det att vara mindre än oändligt med ett gigantiskt antal gånger. Det är vettigt att prata om detta koncept mer i detalj.

Infinity

Nu när vi har förklarat vad Graham-numret på fingrarna är, borde vi förstå innebörden som har investerats och investeras i detta filosofiska koncept. När allt kommer omkring kan”oändlighet” och”ett oändligt stort antal” anses vara identiska i ett visst sammanhang.

Det största bidraget till studien av denna fråga gjordes av Aristoteles. Antikens stora tänkare delade in oändlighet i potentiell och faktisk. Med det senare menade han verkligheten av oändliga tings existens.

Enligt Aristoteles är källorna till idéer om detta grundläggande koncept:

time;
separation of values;
begreppet gränsen och existensen av något bortom den;
den kreativa naturens outtömlighet;
tänkande som inte har några gränser.

I den moderna tolkningen av oändligheten kan du inte ange ett kvantitativt mått, så sökandet efter det största antalet kan fortsätta för evigt.

Slutsats

Kan metaforen "Gaze into infinity" och Grahams nummer anses synonyma i någon mening? Snarare ja och nej. Båda är omöjliga att föreställa sig, även med den starkaste fantasin. Men som redan nämnts kan det inte anses "mest, mest". En annan sak är att för tillfället har värden som är större än Graham-numret inte ett fastställtfysiskt sinne.

Det har inte heller egenskaperna för ett oändligt tal, såsom:

∞ + 1=∞;
det finns ett oändligt antal både udda och jämna tal;
∞ - 1=∞;
antalet udda nummer är exakt hälften av alla nummer;
∞ + ∞=∞;
∞/2=∞.

För att sammanfatta: Grahams nummer är det största antalet i praktiken av matematiska bevis, enligt Guinness rekordbok. Det finns dock siffror som är många gånger större än detta värde.

Med största sannolikhet kommer det i framtiden att finnas ett behov av ännu större "jättar", speciellt om en person går bortom vårt solsystem eller uppfinner något ofattbart på den nuvarande nivån av vårt medvetande.