Ett av geometrins axiom säger att genom två valfria punkter är det möjligt att dra en enda rät linje. Detta axiom vittnar om att det finns ett unikt numeriskt uttryck som unikt beskriver det specificerade endimensionella geometriska objektet. Betrakta i artikeln frågan om hur man skriver ekvationen för en rät linje som går genom två punkter.
Vad är en punkt och en linje?
Innan man överväger frågan om att konstruera i rymden och på planet en rät linje av en ekvation som går genom ett par olika punkter, bör man definiera de specificerade geometriska objekten.
En punkt bestäms unikt av en uppsättning koordinater i ett givet system av koordinataxlar. Utöver dem finns det inga fler egenskaper för punkten. Hon är ett nolldimensionellt objekt.
När man talar om en rak linje, föreställer sig varje person en linje avbildad på ett vitt pappersark. Samtidigt är det möjligt att ge en exakt geometrisk definitiondetta objekt. En rät linje är en sådan samling av punkter där anslutningen av var och en av dem med alla andra ger en uppsättning parallella vektorer.
Denna definition används vid inställning av vektorekvationen för en rät linje, vilket kommer att diskuteras nedan.
Eftersom vilken linje som helst kan markeras med ett segment av godtycklig längd, sägs det vara ett endimensionellt geometriskt objekt.
Nummervektorfunktion
En ekvation genom två punkter på en rät linje som passerar kan skrivas i olika former. I tredimensionella och tvådimensionella rum är det huvudsakliga och intuitivt förståeliga numeriska uttrycket en vektor.
Anta att det finns något riktat segment u¯(a; b; c). I 3D-rymden kan vektorn u¯ starta när som helst, så dess koordinater definierar en oändlig uppsättning parallella vektorer. Men om vi väljer en specifik punkt P(x0; y0; z0) och sätter det som början av vektorn u¯, och multiplicera denna vektor med ett godtyckligt reellt tal λ, kan man få alla punkter på en rät linje i rymden. Det vill säga, vektorekvationen kommer att skrivas som:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Självklart, för fallet på planet, har den numeriska funktionen formen:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Fördelen med den här typen av ekvationer jämfört med de andra (i segment, kanoniska,allmän form) ligger i det faktum att den explicit innehåller koordinaterna för riktningsvektorn. Det senare används ofta för att avgöra om linjer är parallella eller vinkelräta.
Allmänt i segment och kanonisk funktion för en rak linje i tvådimensionellt utrymme
När du löser problem behöver du ibland skriva ekvationen för en rät linje som går genom två punkter i en viss, specifik form. Därför bör andra sätt att specificera detta geometriska objekt i tvådimensionellt rum ges (för enkelhetens skull betraktar vi fallet på planet).
Låt oss börja med en allmän ekvation. Den har formen:
Ax + By + C=0
Som regel, på planet skrivs ekvationen för en rät linje i denna form, endast y är explicit definierad genom x.
Omvandla nu uttrycket ovan enligt följande:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Detta uttryck kallas en ekvation i segment, eftersom nämnaren för varje variabel visar hur länge linjesegmentet skär av på motsvarande koordinataxel i förhållande till startpunkten (0; 0).
Det återstår att ge ett exempel på den kanoniska ekvationen. För att göra detta skriver vi vektorlikheten uttryckligen:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Låt oss uttrycka parametern λ härifrån och likställa de resulterande likheterna:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Den sista likheten kallas ekvationen i kanonisk eller symmetrisk form.
Var och en av dem kan konverteras till vektor och vice versa.
Ekvationen för en rät linje som går genom två punkter: en kompileringsteknik
Tillbaka till frågan om artikeln. Anta att det finns två punkter i rymden:
M(x1; y1; z1) och N(x 2; y2; z2)
Den enda raka linjen går genom dem, vars ekvation är mycket lätt att komponera i vektorform. För att göra detta, beräknar vi koordinaterna för det riktade segmentet MN¯, vi har:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Det är inte svårt att gissa att denna vektor kommer att vara guiden för den räta linjen, vars ekvation måste erhållas. Genom att veta att den också passerar genom M och N kan du använda koordinaterna för vilken som helst av dem för ett vektoruttryck. Sedan har den önskade ekvationen formen:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
För fallet i tvådimensionellt rum får vi en liknande likhet utan deltagande av variabeln z.
Så snart vektorlikheten för linjen är skriven kan den översättas till vilken annan form som helst som frågan om problemet kräver.
Uppgift:skriv en allmän ekvation
Det är känt att en rät linje går genom punkterna med koordinater (-1; 4) och (3; 2). Det är nödvändigt att komponera ekvationen för en rät linje som går genom dem, i en allmän form, som uttrycker y i termer av x.
För att lösa problemet skriver vi först ekvationen i vektorform. Vektorkoordinaterna (guide) är:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Då är vektorformen för den räta linjens ekvation följande:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Det återstår att skriva det i allmän form i formen y(x). Vi skriver om denna likhet explicit, uttrycker parametern λ och exkluderar den från ekvationen:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
Från den resulterande kanoniska ekvationen uttrycker vi y och kommer till svaret på frågan om problemet:
y=-0,5x + 3,5
Giltigheten av denna likhet kan kontrolleras genom att ersätta koordinaterna för punkterna som anges i problemformuleringen.
Problem: en rak linje som går genom mitten av segmentet
Låt oss nu lösa ett intressant problem. Antag att två punkter M(2; 1) och N(5; 0) ges. Det är känt att en rät linje passerar genom mittpunkten av segmentet som förbinder punkterna och är vinkelrät mot det. Skriv ekvationen för en rät linje som går genom mitten av segmentet i vektorform.
Det önskade numeriska uttrycket kan bildas genom att beräkna koordinaten för detta centrum och bestämma riktningsvektorn, somsegmentet gör en vinkel 90o.
Mittpunkten i segmentet är:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Låt oss nu beräkna koordinaterna för vektorn MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
Eftersom riktningsvektorn för den önskade linjen är vinkelrät mot MN¯, är deras skalära produkt lika med noll. Detta låter dig beräkna de okända koordinaterna (a; b) för styrvektorn:
a3 - b=0=>
b=3a
Skriv nu vektorekvationen:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Här har vi ersatt produkten aλ med en ny parameter β.
Vi har alltså gjort ekvationen för en rät linje som går genom segmentets mitt.
