Om den linjära rörelsen hos kroppar beskrivs i klassisk mekanik med hjälp av Newtons lagar, så beräknas egenskaperna hos mekaniska systems rörelse längs cirkulära banor med hjälp av ett speciellt uttryck, som kallas momentekvationen. Vilka ögonblick pratar vi om och vad är meningen med denna ekvation? Dessa och andra frågor avslöjas i artikeln.
kraftögonblick
Alla är väl medvetna om den newtonska kraften, som, som verkar på kroppen, leder till att den förmedlas en acceleration. När en sådan kraft appliceras på ett föremål som är fixerat på en viss rotationsaxel, då brukar denna egenskap kallas kraftmomentet. Kraftmomentekvationen kan skrivas på följande sätt:
M¯=L¯F¯
Bilden som förklarar detta uttryck visas nedan.
Här kan du se att kraften F¯ är riktad mot vektorn L¯ i en vinkel Φ. Vektorn L¯ själv antas vara riktad från rotationsaxeln (indikerad med pilen) till appliceringspunktenF¯.
Formeln ovan är en produkt av två vektorer, så M¯ är också riktad. Var kommer kraftmomentet M¯ att vändas? Detta kan bestämmas av högerhandsregeln (fyra fingrar är riktade längs banan från slutet av vektorn L¯ till slutet av F¯, och vänster tumme indikerar riktningen för M¯).
I figuren ovan kommer uttrycket för kraftmomentet i skalär form att ha formen:
M=LFsin(Φ)
Om du tittar noga på figuren kan du se att Lsin(Φ)=d, då har vi formeln:
M=dF
Värdet på d är en viktig egenskap vid beräkning av kraftmomentet, eftersom det återspeglar effektiviteten hos det applicerade F på systemet. Detta värde kallas kraftspaken.
Den fysiska betydelsen av M ligger i kraftens förmåga att rotera systemet. Alla kan känna denna förmåga om de öppnar dörren i handtaget, trycker den nära gångjärnen eller om de försöker skruva loss muttern med en kort och lång nyckel.
Systemets jämvikt
Begreppet kraftmoment är mycket användbart när man överväger jämvikten i ett system som påverkas av flera krafter och som har en axel eller rotationspunkt. Använd i sådana fall formeln:
∑iMi¯=0
Det vill säga, systemet kommer att vara i jämvikt om summan av alla kraftmoment som appliceras på det är noll. Observera att i denna formel finns ett vektortecken över ögonblicket, det vill säga när man löser, bör man inte glömma att ta hänsyn till tecknet för dettakvantiteter. Den allmänt accepterade regeln är att den verkande kraften som roterar systemet moturs skapar en positiv Mi¯.
Ett slående exempel på problem av denna typ är problem med balansen mellan Arkimedes spakar.
Moment of momentum
Detta är en annan viktig egenskap hos cirkulär rörelse. I fysiken beskrivs det som produkten av rörelsemängden och spaken. Momentumekvationen ser ut så här:
T¯=r¯p¯
Här är p¯ momentumvektorn, r¯ är vektorn som förbinder den roterande materialpunkten med axeln.
Figuren nedan illustrerar detta uttryck.
Här är ω vinkelhastigheten, som kommer att visas längre fram i momentekvationen. Observera att riktningen för vektorn T¯ hittas av samma regel som M¯. I figuren ovan kommer T¯ i riktning att sammanfalla med vinkelhastighetsvektorn ω¯.
Den fysiska betydelsen av T¯ är densamma som egenskaperna hos p¯ i fallet med linjär rörelse, dvs. vinkelmomentum beskriver mängden rotationsrörelse (lagrad kinetisk energi).
tröghetsmoment
Den tredje viktiga egenskapen, utan vilken det är omöjligt att formulera rörelseekvationen för ett roterande föremål, är tröghetsmomentet. Det uppträder i fysiken som ett resultat av matematiska transformationer av formeln för rörelsemängden för en materiell punkt. Låt oss visa dig hur det går till.
Låt oss föreställa oss värdetT¯ enligt följande:
T¯=r¯mv¯, där p¯=mv¯
Med hjälp av förhållandet mellan vinkel- och linjärhastigheter kan vi skriva om detta uttryck enligt följande:
T¯=r¯mr¯ω¯, där v¯=r¯ω¯
Skriv det sista uttrycket enligt följande:
T¯=r2mω¯
Värdet r2m är tröghetsmomentet I för en masspunkt m som gör en cirkulär rörelse runt en axel på ett avstånd r från den. Detta specialfall tillåter oss att introducera den allmänna ekvationen för tröghetsmomentet för en kropp med godtycklig form:
I=∫m (r2dm)
I är en additiv kvantitet, vars betydelse ligger i det roterande systemets tröghet. Ju större I, desto svårare är det att snurra kroppen, och det krävs en stor ansträngning för att stoppa den.
Momentekvation
Vi har övervägt tre kvantiteter, vars namn börjar med ordet "ögonblick". Detta gjordes avsiktligt, eftersom de alla är sammankopplade i ett uttryck, kallat 3-moment ekvationen. Låt oss få ut det.
Betrakta uttrycket för vinkelmomentet T¯:
T¯=Iω¯
Ta reda på hur värdet på T¯ förändras med tiden, vi har:
dT¯/dt=Idω¯/dt
Med tanke på att derivatan av vinkelhastigheten är lika med den för den linjära hastigheten dividerad med r, och expanderar värdet på I, kommer vi fram till uttrycket:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, där a¯=dv¯/dt är linjär acceleration.
Observera att produkten av massa och acceleration inte är något annat än den verkande yttre kraften F¯. Som ett resultat får vi:
dT¯/dt=rF¯=M¯
Vi kom till en intressant slutsats: förändringen i vinkelmomentet är lika med momentet för den verkande yttre kraften. Detta uttryck skrivs vanligtvis i en något annorlunda form:
M¯=Iα¯, där α¯=dω¯/dt - vinkelacceleration.
Denna likhet kallas för ögonblicksekvationen. Det låter dig beräkna alla egenskaper hos en roterande kropp, känna till systemets parametrar och storleken på den externa påverkan på den.
Bevarandelag T¯
Slutsatsen som erhölls i föregående stycke indikerar att om det yttre kraftmomentet är lika med noll, kommer vinkelmomentet inte att förändras. I det här fallet skriver vi uttrycket:
T¯=konst. eller I1ω1¯=I2ω2 ¯
Denna formel kallas lagen om bevarande av T¯. Det vill säga att eventuella förändringar inom systemet inte ändrar det totala vinkelmomentet.
Detta faktum används av konståkare och ballerinor under sina framträdanden. Den används också om det är nödvändigt att rotera en konstgjord satellit som rör sig i rymden runt dess axel.
