Vad är irrationella tal? Varför heter de så? Var används de och vad är de? Få kan svara på dessa frågor utan att tveka. Men i själva verket är svaren på dem ganska enkla, även om inte alla behöver dem och i mycket sällsynta situationer
Äss och beteckning
Irrationella tal är oändliga icke-periodiska decimalbråk. Behovet av att introducera detta begrepp beror på det faktum att de tidigare existerande begreppen reella eller reella, heltal, naturliga och rationella tal inte längre var tillräckliga för att lösa nya framväxande problem. Till exempel, för att räkna ut vad kvadraten på 2 är, måste du använda engångskretsar med oändliga decimaler. Många av de enklaste ekvationerna har dessutom ingen lösning utan att introducera begreppet ett irrationellt tal.
Denna uppsättning betecknas som I. Och, som redan är klart, kan dessa värden inte representeras som ett enkelt bråk, i vars täljare det kommer att finnas ett heltal, och i nämnaren - ett naturligt tal.
För första gången någonsinannars stötte indiska matematiker på detta fenomen på 700-talet f. Kr., när det upptäcktes att kvadratrötterna för vissa kvantiteter inte kunde anges explicit. Och det första beviset på existensen av sådana siffror tillskrivs Pythagoras Hippasus, som gjorde detta i färd med att studera en likbent rätvinklig triangel. Ett seriöst bidrag till studien av denna uppsättning gjordes av några andra forskare som levde före vår tideräkning. Införandet av begreppet irrationella tal innebar en revidering av det befintliga matematiska systemet, varför de är så viktiga.
Ursprunget till namnet
Om förhållande på latin betyder "bråk", "kvot", så ger prefixet "ir"
detta ord motsatt betydelse. Således indikerar namnet på uppsättningen av dessa siffror att de inte kan korreleras med ett heltal eller bråk, de har en separat plats. Detta följer av deras väsen.
Placering i den totala klassificeringen
Irrationella tal, tillsammans med rationella tal, tillhör gruppen av reella eller reella tal, som i sin tur tillhör komplexa tal. Det finns inga delmängder, men det finns algebraiska och transcendentala varianter, som kommer att diskuteras nedan.
Properties
Eftersom irrationella tal är en del av mängden reella tal, gäller alla deras egenskaper som studeras i aritmetik (de kallas även grundläggande algebraiska lagar).
a + b=b + a (kommutativitet);
(a + b) + c=a + (b + c)(associativitet);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (existensen av det motsatta talet);
ab=ba (förskjutningslag);
(ab)c=a(bc) (distributivitet);
a(b+c)=ab + ac (distributiv lag);
a x 1=a
a x 1/a=1 (förekomsten av ett omvänt tal);
Jämförelse utförs också i enlighet med allmänna lagar och principer:
Om a > b och b > c, då a > c (transitivitet av förhållandet) och. etc.
Naturligtvis kan alla irrationella tal konverteras med grundläggande aritmetik. Det finns inga särskilda regler för detta.
Dessutom gäller Arkimedes axiom för irrationella tal. Det står att för vilka två kvantiteter a och b som helst är påståendet sant att genom att ta a som term tillräckligt många gånger kan du överträffa b.
Använd
Trots att man i det vanliga livet inte ofta behöver ta itu med dem, kan irrationella tal inte räknas. Det finns många av dem, men de är nästan osynliga. Vi är omgivna av irrationella siffror överallt. Exempel som alla känner till är talet pi, lika med 3, 1415926 …, eller e, som i huvudsak är basen för den naturliga logaritmen, 2, 718281828 … I algebra, trigonometri och geometri måste de användas konstant. Förresten, det berömda värdet av "det gyllene snittet", det vill säga förhållandet mellan både den större delen och den mindre, och vice versa, är också
tillhör denna uppsättning. Mindre känt "silver" - också.
De är placerade mycket tätt på tallinjen, så mellan två valfria värden som är relaterade till uppsättningen av rationella, kommer det säkert att inträffa ett irrationellt.
Det finns fortfarande många olösta problem relaterade till denna uppsättning. Det finns sådana kriterier som måttet på irrationalitet och normaliteten hos ett tal. Matematiker fortsätter att undersöka de viktigaste exemplen på deras tillhörighet till en eller annan grupp. Till exempel tror man att e är ett norm alt tal, det vill säga sannolikheten för att olika siffror förekommer i dess post är densamma. När det gäller pi pågår forskning fortfarande om det. Ett mått på irrationalitet kallas också ett värde som visar hur väl det eller det talet kan approximeras med rationella tal.
algebraisk och transcendental
Som redan nämnts är irrationella tal villkorligt uppdelade i algebraiska och transcendentala. Villkorligt, eftersom denna klassificering strängt taget används för att dela upp mängden C.
Denna beteckning döljer komplexa tal, som inkluderar reella eller reella tal.
Så, ett algebraiskt värde är ett värde som är en rot av ett polynom som inte är identiskt lika med noll. Till exempel skulle kvadratroten ur 2 vara i denna kategori eftersom det är lösningen på ekvationen x2 - 2=0.
Alla andra reella tal som inte uppfyller detta villkor kallas transcendentala. Till denna sortinkludera de mest kända och redan nämnda exemplen - talet pi och basen för den naturliga logaritmen e.
Intressant nog, varken den ena eller den andra härleddes ursprungligen av matematiker i denna egenskap, deras irrationalitet och transcendens bevisades många år efter upptäckten. För pi gavs beviset 1882 och förenklades 1894, vilket satte stopp för den 2 500 år långa kontroversen om problemet med att kvadrera cirkeln. Det är fortfarande inte helt förstått, så moderna matematiker har något att jobba på. Förresten, den första tillräckligt exakta beräkningen av detta värde utfördes av Archimedes. Före honom var alla beräkningar för ungefärliga.
För e (Euler- eller Napier-numren) hittades bevis på dess transcendens 1873. Det används för att lösa logaritmiska ekvationer.
Andra exempel inkluderar sinus-, cosinus- och tangensvärden för alla algebraiska värden som inte är noll.
