Det är omöjligt att påstå att du kan matematik om du inte kan rita grafer, rita olikheter på en koordinatlinje och arbeta med koordinataxlar. Den visuella komponenten i vetenskap är avgörande, för utan visuella exempel i formler och beräkningar kan man ibland bli väldigt förvirrad. I den här artikeln kommer vi att se hur man arbetar med koordinataxlar och lär oss hur man bygger enkla funktionsgrafer.
Application
Koordinatlinjen är grunden för de enklaste typerna av grafer som en elev möter på sin utbildningsväg. Den används i nästan alla matematiska ämnen: vid beräkning av hastighet och tid, projicering av objekts storlek och beräkning av deras area, i trigonometri när man arbetar med sinus och cosinus.
Huvudvärdet av en sådan direkt linje är synlighet. Eftersom matematik är en vetenskap som kräver en hög nivå av abstrakt tänkande, hjälper grafer till att representera ett objekt i den verkliga världen. Hur beter han sig? Vid vilken tidpunkt i rymden kommernågra sekunder, minuter, timmar? Vad kan man säga om det i jämförelse med andra föremål? Vad är dess hastighet vid en slumpmässigt vald tidpunkt? Hur karakteriserar man hans rörelse?
Och vi pratar om hastighet av en anledning - den visas ofta med funktionsdiagram. Och de kan också visa förändringar i temperatur eller tryck inuti objektet, dess storlek, orientering i förhållande till horisonten. Därför krävs ofta att man bygger en koordinatlinje också i fysik.
Endimensionell graf
Det finns ett koncept om multidimensionalitet. I endimensionell rymd räcker bara ett nummer för att bestämma platsen för en punkt. Detta är exakt fallet med användningen av koordinatlinjen. Om utrymmet är tvådimensionellt krävs två siffror. Diagram av denna typ används mycket oftare, och vi kommer definitivt att överväga dem lite senare i artikeln.
Vad kan ses med hjälp av punkter på axeln, om det bara finns en axel? Du kan se objektets storlek, dess position i rymden i förhållande till någon "noll", dvs. den punkt som v alts som referenspunkt.
Ändring av parametrar över tiden kommer inte att synas, eftersom alla avläsningar kommer att visas under ett visst ögonblick. Däremot måste man börja någonstans! Så låt oss komma igång.
Hur man bygger en koordinataxel
Först måste du rita en horisontell linje - det här kommer att vara vår axel. På höger sida, "vässa" den så att den ser ut som en pil. Således kommer vi att ange i vilken riktning siffrorna kommer att varaöka. I riktning nedåt är pilen vanligtvis inte placerad. Traditionellt pekar axeln åt höger, så vi följer den här regeln.
Låt oss sätta en nollmarkering som visar ursprunget för koordinaterna. Detta är själva platsen varifrån nedräkningen tas, oavsett om det är storlek, vikt, hastighet eller något annat. Förutom noll måste vi nödvändigtvis utse det så kallade divisionspriset, det vill säga införa en enhetsstandard, i enlighet med vilken vi kommer att plotta vissa kvantiteter på axeln. Detta måste göras för att kunna hitta längden på segmentet på koordinatlinjen.
Genom ett lika stort avstånd från varandra, sätt punkter eller "skåror" på linjen, och under dem skriv 1, 2, 3, respektive, och så vidare. Och nu är allt klart. Men med det resulterande schemat måste du fortfarande lära dig hur du arbetar.
Typer av punkter på koordinatlinjen
Från den första anblicken på ritningarna som föreslagits i läroböckerna blir det tydligt: punkterna på axeln kan fyllas i eller inte. Tror du att det är en slump? Inte alls! En "fast" prick används för en icke strikt ojämlikhet - en som läses som "större än eller lika med". Om vi måste strikt begränsa intervallet (till exempel kan "x" ta värden från noll till ett, men inte inkluderar det), kommer vi att använda en "ihålig" punkt, det vill säga i själva verket en liten cirkel på axeln. Det bör noteras att elever egentligen inte gillar strikta ojämlikheter, eftersom de är svårare att arbeta med.
Beroende på vilka poäng duanvända på sjökortet, kommer de byggda intervallen också att kallas. Om ojämlikheten på båda sidor inte är strikt får vi ett segment. Om det å ena sidan visar sig vara "öppet", kommer det att kallas ett halvintervall. Slutligen, om en del av en linje är avgränsad på båda sidor av ihåliga punkter, kommer den att kallas ett intervall.
Plane
När vi konstruerar två räta linjer på koordinatplanet kan vi redan betrakta graferna för funktioner. Låt oss säga att den horisontella linjen är tidsaxeln och den vertikala linjen är avståndet. Och nu kan vi bestämma vilket avstånd objektet kommer att övervinna på en minut eller en timmes resa. Att arbeta med ett plan gör det alltså möjligt att övervaka förändringen i ett objekts tillstånd. Det här är mycket mer intressant än att utforska ett statiskt tillstånd.
Den enklaste grafen på ett sådant plan är en rät linje, den speglar funktionen Y(X)=aX + b. Böjer linjen? Detta innebär att objektet ändrar sina egenskaper under studien.
Föreställ dig att du står på taket av en byggnad och håller en sten i din utsträckta hand. När du släpper den kommer den att flyga ner och börja sin rörelse från noll hastighet. Men på en sekund tar han 36 kilometer i timmen. Stenen kommer att fortsätta att accelerera ytterligare, och för att rita dess rörelse på sjökortet måste du mäta dess hastighet vid flera tidpunkter genom att sätta punkter på axeln på lämpliga platser.
Märken på den horisontella koordinatlinjen heter som standard X1, X2, X3 och på den vertikala - Y1, Y2, Y3, respektive. utskjutandedem till planet och hitta skärningspunkter, hittar vi fragment av det resulterande mönstret. Förbinder vi dem med en linje, får vi en graf över funktionen. I fallet med en fallande sten kommer den kvadratiska funktionen att se ut så här: Y(X)=aXX + bX + c.
Scale
Naturligtvis är det inte nödvändigt att sätta heltalsvärden bredvid divisioner med en rak linje. Om du överväger rörelsen av en snigel som kryper med en hastighet av 0,03 meter per minut, ställ in som värden på koordinatfraktionen. Ställ i så fall in skalintervallet till 0,01 meter.
Det är särskilt bekvämt att utföra sådana ritningar i en anteckningsbok i en bur - här kan du direkt se om det finns tillräckligt med utrymme på arket för ditt diagram, om du går utanför marginalerna. Det är inte svårt att beräkna din styrka, eftersom cellens bredd i en sådan anteckningsbok är 0,5 centimeter. Det tog - förminskade bilden. Ändringar i diagrammets skala kommer inte att leda till att det förlorar eller ändrar dess egenskaper.
Punkt- och segmentkoordinater
När ett matematiskt problem ges i en lektion kan det innehålla parametrar för olika geometriska former, både i form av sidlängder, omkrets, area och i form av koordinater. I det här fallet kan du behöva både bygga en form och få lite data kopplade till den. Frågan uppstår: hur hittar man den information som krävs på koordinatlinjen? Och hur bygger man en form?
Vi pratar till exempel om en punkt. Då kommer en stor bokstav att visas i problemets tillstånd, och flera siffror kommer att visas inom parentes, oftast två (det betyder att vi kommer att räkna i tvådimensionellt utrymme). Om det finns tre siffror inom parentes, åtskilda med semikolon eller kommatecken, är detta ett tredimensionellt utrymme. Vart och ett av värdena är en koordinat på motsvarande axel: först längs den horisontella (X), sedan längs den vertikala (Y).
Kommer du ihåg hur man ritar ett segment? Du klarade det på geometri. Om det finns två punkter kan en linje dras mellan dem. Deras koordinater anges inom parentes om ett segment förekommer i problemet. Till exempel: A(15, 13) - B(1, 4). För att bygga en sådan linje måste du hitta och markera punkter på koordinatplanet och sedan ansluta dem. Det var allt!
Och alla polygoner, som du vet, kan ritas med segment. Problem löst.
Beräkningar
Låt oss säga att det finns något objekt vars position längs X-axeln kännetecknas av två tal: det börjar vid punkten med koordinaten (-3) och slutar vid (+2). Om vi vill veta längden på detta objekt måste vi subtrahera det mindre talet från det större talet. Observera att ett negativt tal absorberar subtraktionens tecken, eftersom "ett minus gånger ett minus är lika med ett plus." Så vi lägger till (2+3) och får 5. Detta är det resultat som krävs.
Ett annat exempel: vi får slutpunkten och längden på objektet, men inte startpunkten (och vi måste hitta den). Låt positionen för den kända punkten vara (6) och storleken på föremålet som studeras vara (4). Genom att subtrahera längden från den slutliga koordinaten får vi svaret. Tot alt: (6 - 4)=2,
Negativa tal
Det krävs ofta i praktiken att man arbetar med negativa värden. I det här fallet kommer vi att göra detflytta till vänster längs koordinataxeln. Ett föremål som är 3 centimeter högt flyter till exempel i vatten. En tredjedel av det är nedsänkt i vätska, två tredjedelar är i luft. När vi sedan väljer vattenytan som axel, får vi två tal med de enklaste aritmetiska beräkningarna: objektets översta punkt har koordinaten (+2) och den nedersta - (-1) centimeter.
Det är lätt att se att när det gäller ett plan har vi fyra fjärdedelar av koordinatlinjen. Var och en av dem har sitt eget nummer. I den första (övre högra) delen kommer det att finnas punkter med två positiva koordinater, i den andra - överst till vänster - kommer värdena på X-axeln att vara negativa och längs Y-axeln - positiva. Tredje och fjärde räknas ytterligare moturs.
Viktig egendom
Du vet att en linje kan representeras som ett oändligt antal punkter. Vi kan se så noggrant som vi vill hur många värden som helst i varje riktning av axeln, men vi kommer inte att möta återkommande. Det verkar naivt och förståeligt, men det påståendet härrör från ett viktigt faktum: varje nummer motsvarar en och endast en punkt på koordinatlinjen.
Slutsats
Kom ihåg att alla axlar, figurer och, om möjligt, grafik måste byggas på en linjal. Måttenheter uppfanns inte av människan av en slump - om du gör ett fel när du ritar riskerar du att se en annan bild än den borde ha varit.
Var försiktig och noggrann i plottning och beräkningar. Liksom all vetenskap som studeras i skolan, älskar matematik noggrannhet. Anstränga dig lite och gottutvärderingar kommer inte att dröja på länge.
