Även i skolan bekantar sig alla elever med begreppet "euklidisk geometri", vars huvudbestämmelser är fokuserade kring flera axiom baserade på sådana geometriska element som punkt, plan, linje, rörelse. Alla bildar tillsammans vad som länge har varit känt under termen "Euklidiska rymden".
Euklidiskt rymd, vars definition är baserad på konceptet med skalär multiplikation av vektorer, är ett specialfall av ett linjärt (affint) rum som uppfyller ett antal krav. För det första är den skalära produkten av vektorer absolut symmetrisk, det vill säga vektorn med koordinater (x;y) är kvantitativt identisk med vektorn med koordinater (y;x), men i motsatt riktning.
För det andra, om den skalära produkten av en vektor med sig själv utförs, kommer resultatet av denna åtgärd att vara positivt. Det enda undantaget kommer att vara fallet när de initiala och slutliga koordinaterna för denna vektor är lika med noll: i detta fall kommer dess produkt med sig själv också att vara lika med noll.
För det tredje är den skalära produkten distributiv, det vill säga det är möjligt att dekomponera en av dess koordinater till summan av två värden, vilket inte kommer att medföra några förändringar i slutresultatet av skalär multiplikation av vektorer. Slutligen, för det fjärde, när vektorer multipliceras med samma reella tal, kommer deras skalära produkt också att öka med samma faktor.
Om alla dessa fyra villkor är uppfyllda kan vi med tillförsikt säga att vi har ett euklidiskt utrymme.
Euklidiskt rymd ur praktisk synvinkel kan karakteriseras av följande specifika exempel:
- Det enklaste fallet är närvaron av en uppsättning vektorer med en skalär produkt definierad enligt geometrins grundläggande lagar.
- Euklidiskt rymd kommer också att erhållas om vi med vektorer menar en viss ändlig uppsättning reella tal med en given formel som beskriver deras skalära summa eller produkt.
- Ett specialfall av euklidiskt rymd är det så kallade nollutrymmet, som erhålls om den skalära längden för båda vektorerna är lika med noll.
Euklidiska rymden har ett antal specifika egenskaper. För det första kan skalärfaktorn tas ur parentes både från den första och andra faktorn av skalärprodukten, resultatet från detta kommer inte att förändras på något sätt. För det andra, tillsammans med fördelningen av det första elementet i skalärenprodukt, verkar fördelningen av det andra elementet också. Utöver den skalära summan av vektorer sker distribution även vid vektorsubtraktion. Slutligen, för det tredje, när en vektor multipliceras skalärt med noll, blir resultatet också noll.
Den euklidiska rymden är alltså det viktigaste geometriska konceptet som används för att lösa problem med det ömsesidiga arrangemanget av vektorer i förhållande till varandra, vilket kännetecknas av ett sådant koncept som skalärprodukten.
