En av de grundläggande delarna av matematisk analys är integralkalkyl. Den täcker det bredaste fältet av objekt, där den första är den obestämda integralen. Det är värt att placera den som en nyckel, som även i gymnasiet avslöjar ett ökande antal perspektiv och möjligheter som högre matematik beskriver.
Utseende
Vid första anblicken verkar integralen fullkomligt modern, relevant, men i praktiken visar det sig att den dök upp redan 1800 f. Kr. Egypten anses officiellt vara hemlandet, eftersom tidigare bevis på dess existens inte har nått oss. Han, på grund av brist på information, placerades hela denna tid helt enkelt som ett fenomen. Han bekräftade återigen nivån på vetenskapens utveckling bland folken på den tiden. Slutligen hittades verk av antika grekiska matematiker som går tillbaka till 400-talet f. Kr. De beskrev en metod där en obestämd integral användes, vars essens var att hitta volymen eller arean av en kurvlinjär figur (tredimensionelloch tvådimensionella plan, respektive). Beräkningsprincipen baserades på att dela upp den ursprungliga figuren i oändliga komponenter, förutsatt att deras volym (area) redan är känd. Med tiden har metoden växt, Arkimedes använde den för att hitta området för en parabel. Liknande beräkningar utfördes samtidigt av forskare i det antika Kina, och de var helt oberoende av sina grekiska motsvarigheter inom vetenskapen.
Utveckling
Nästa genombrott på 1000-talet e. Kr. var arbetet av den arabiska vetenskapsmannen-"universella" Abu Ali al-Basri, som tänjde på gränserna för vad som redan var känt, genom att härleda formler baserade på integralen för att beräkna summorna rader och summor av potenser från första till fjärde, med tillämpning av den matematiska induktionsmetod som vi känner till.
Sinnen i modern tid beundrar hur de forntida egyptierna skapade fantastiska arkitektoniska monument utan några speciella anordningar, utom kanske sina händer, men är inte kraften i sinnet hos den tidens vetenskapsmän ett mindre mirakel? Jämfört med idag verkar deras liv nästan primitivt, men lösningen med obestämda integraler härleddes överallt och användes i praktiken för vidare utveckling.
Nästa steg ägde rum på 1500-talet, när den italienske matematikern Cavalieri utvecklade metoden med odelbara, som togs upp av Pierre Fermat. Det var dessa två personligheter som lade grunden för den moderna integralkalkylen, som är känd för tillfället. De kopplade ihop begreppen differentiering och integration, som tidigare varbehandlas som autonoma enheter. I stort sett var den tidens matematik fragmenterad, slutsatserna existerade på egen hand, med begränsad omfattning. Vägen för enande och sökande efter gemensam grund var den enda sanna på den tiden, tack vare vilken modern matematisk analys fick möjlighet att växa och utvecklas.
Allt har förändrats över tiden, inklusive notationen av integralen. I stort sett betecknade vetenskapsmän det på alla sätt, till exempel använde Newton en fyrkantig ikon där han placerade en integrerbar funktion eller helt enkelt satte den bredvid den.
Denna inkonsekvens fortsatte fram till 1600-talet, när vetenskapsmannen Gottfried Leibniz, ett landmärke för hela teorin om matematisk analys, introducerade symbolen som var så bekant för oss. Det långsträckta "S" är verkligen baserat på denna bokstav i det latinska alfabetet, eftersom det betecknar summan av antiderivator. Integralen fick sitt namn tack vare Jacob Bernoulli 15 år senare.
Formell definition
Den obestämda integralen beror direkt på definitionen av antiderivatan, så låt oss överväga det först.
En antiderivata är en funktion som är inversen till en derivata, i praktiken kallas den också primitiv. Annars: antiderivatan av en funktion d är en funktion D vars derivata är lika med v V'=v. Sökandet efter antiderivatan är beräkningen av den obestämda integralen, och denna process i sig kallas integration.
Exempel:
Funktion s(y)=y3, och dess antiderivata S(y)=(y4/4).
Mängden av alla antiderivator av den aktuella funktionen är den obestämda integralen, den betecknas enligt följande: ∫v(x)dx.
På grund av att V(x) bara är någon antiderivata av den ursprungliga funktionen, sker uttrycket: ∫v(x)dx=V(x) + C, där C är en konstant. En godtycklig konstant är vilken konstant som helst, eftersom dess derivata är lika med noll.
Properties
De egenskaper som den obestämda integralen har är baserade på huvuddefinitionen och egenskaperna för derivator.
Låt oss titta på nyckelpunkterna:
- integralen från derivatan av antiderivatan är själva antiderivatan plus en godtycklig konstant С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- derivatan av funktionsintegralen är den ursprungliga funktionen (∫v(x)dx)'=v(x);
- konstant tas ut under heltecknet ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, där k är godtycklig;
- integralen tagen från summan är identiskt lika med summan av integralerna ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
Från de två sista egenskaperna kan vi dra slutsatsen att den obestämda integralen är linjär. Tack vare detta har vi: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
För att konsolidera, överväg exempel på att lösa obestämda integraler.
Det är nödvändigt att hitta integralen ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
Från exemplet kan vi dra slutsatsen:vet inte hur man löser obestämda integraler? Hitta bara alla primitiva! Men principerna för sökningen kommer att övervägas nedan.
Metoder och exempel
För att lösa integralen kan du använda följande metoder:
- använd det förberedda bordet;
- integrera efter delar;
- integrera genom att ändra variabeln;
- bringa under differenti altecknet.
Bord
Det enklaste och roligaste sättet. För närvarande har matematisk analys ganska omfattande tabeller där de grundläggande formlerna för obestämda integraler är skrivna. Det finns med andra ord mallar som har utvecklats innan dig och för dig återstår bara att använda dem. Här är en lista över huvudtabellspositionerna som du kan härleda nästan alla exempel som har en lösning:
- ∫0dy=C, där C är en konstant;
- ∫dy=y + C, där C är en konstant;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, där C är en konstant och n - icke-ett nummer;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, där C är en konstant;
- ∫eydy=ey + C, där C är en konstant;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, där C är en konstant;
- ∫cosydy=siny + C, där C är en konstant;
- ∫sinydy=-mysigt + C, där C är en konstant;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, där C är en konstant;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, där C är en konstant;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, där C är en konstant;
- ∫chydy=blyg + C, där C -konstant;
- ∫shydy=chy + C, där C är en konstant.
Om det behövs, ta ett par steg, ta integranden till en tabellform och njut av segern. Exempel: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Enligt lösningen är det tydligt att för tabellexemplet saknar integranden en faktor på 5. Vi adderar den och multiplicerar den med 1/5 parallellt så att det allmänna uttrycket inte ändras.
Integration av delar
Betrakta två funktioner - z(y) och x(y). De måste kontinuerligt kunna differentieras över hela definitionsområdet. Enligt en av differentieringsegenskaperna har vi: d(xz)=xdz + zdx. Om vi integrerar båda delarna av ekvationen får vi: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
När vi skriver om den resulterande likheten får vi en formel som beskriver metoden för integration av delar: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Varför behövs det? Poängen är att vissa exempel kan förenklas, villkorligt sett, reducera ∫zdx till ∫xdz om den senare är nära tabellform. Dessutom kan den här formeln appliceras mer än en gång för att uppnå optimala resultat.
Hur man löser obestämda integraler på det här sättet:
behöver beräkna ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
behöver beräkna ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Variabelbyte
Denna princip för att lösa obestämda integraler är inte mindre efterfrågad än de två föregående, även om den är mer komplicerad. Metoden är som följer: låt V(x) vara integralen av någon funktion v(x). I händelse av att själva integralen i exemplet framstår som komplex, finns det stor sannolikhet att bli förvirrad och ta fel lösningsväg. För att undvika detta övas övergången från variabeln x till z, där det allmänna uttrycket visuellt förenklas samtidigt som beroendet av z på x bibehålls.
Matematiskt ser det ut så här: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), där x=y(z) är en substitution. Och, naturligtvis, den inversa funktionen z=y-1(x) beskriver fullständigt beroendet och sambandet mellan variabler. Viktig anmärkning - differentialen dx ersätts med nödvändighet av en ny differential dz, eftersom ersättningen av en variabel i den obestämda integralen innebär att den ersätts överallt, och inte bara i integranden.
Exempel:
need to find ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Använd ersättningen z=(s+1)/(s2+2s-5). Sedan dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Som ett resultat får vi följande uttryck, som är mycket lätt att beräkna:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
måste hitta integralen∫2sesdx
För att lösa, skriver vi om uttrycket i följande form:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Beteckna med a=2e (detta steg är inte en ersättning för argumentet, det är fortfarande s), vi tar vår till synes komplexa integral till en elementär tabellform:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Bringing under the differential sign
I stort sett är denna metod med obestämda integraler en tvillingbror till principen om variabel förändring, men det finns skillnader i designprocessen. Låt oss ta en närmare titt.
Om ∫v(x)dx=V(x) + C och y=z(x), då ∫v(y)dy=V(y) + C.
I det här fallet bör man inte glömma de triviala integr altransformationerna, bland vilka:
- dx=d(x + a), där a är vilken konstant som helst;
- dx=(1 / a)d(ax + b), där a återigen är en konstant, men inte lika med noll;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Om vi betraktar det allmänna fallet när vi beräknar den obestämda integralen, kan exempel summeras under den allmänna formeln w'(x)dx=dw(x).
Exempel:
need to find ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
onlinehjälp
I vissa fall, vars fel kan vara antingen lättja eller brådskande behov, kan du använda onlinetips, eller snarare använda den obestämda integralräknaren. Trots all den uppenbara komplexiteten och diskutabiliteten hos integraler är deras lösning föremål för en viss algoritm, som är baserad på principen "om inte …, så …".
Naturligtvis kommer en sådan kalkylator inte att bemästra särskilt intrikata exempel, eftersom det finns fall där lösningen måste hittas på konstgjord väg, "med tvång" införa vissa element i processen, eftersom resultatet inte kan uppnås i uppenbara sätt. Trots all kontrovers i detta uttalande är det sant, eftersom matematik i princip är en abstrakt vetenskap och anser att behovet av att utvidga möjligheternas gränser är sin primära uppgift. Det är faktiskt extremt svårt att gå upp och utveckla enligt smidiga, inkörda teorier, så du ska inte utgå från att exemplen på att lösa obestämda integraler som vi har gett är höjden av möjligheter. Men tillbaka till den tekniska sidan av saken. Åtminstone för att kontrollera beräkningarna kan du använda tjänsterna där allt skrevs före oss. Om det finns ett behov av automatisk beräkning av ett komplext uttryck, kan de inte undvaras, du måste tillgripa mer seriös programvara. Det är värt att uppmärksamma först och främst MatLab-miljön.
Application
Lösningen med obestämda integraler verkar vid första anblicken helt sakna verkligheten, eftersom det är svårt att se de uppenbara användningsområdena. De kan faktiskt inte användas direkt någonstans, men de anses vara ett nödvändigt mellanliggande element i processen att härleda lösningar som används i praktiken. Så, integration är omvänt till differentiering, på grund av vilket den deltar aktivt i processen att lösa ekvationer.
I sin tur har dessa ekvationer en direkt inverkan på lösningen av mekaniska problem, beräkningen av banor och värmeledningsförmåga – kort sagt allt som utgör nuet och formar framtiden. Den obestämda integralen, exempel på vilka vi undersökte ovan, är trivial endast vid första anblicken, eftersom den är grunden för att göra fler och fler nya upptäckter.
