Goldbachs problem är ett av de äldsta och mest hajpade problemen i all matematiks historia.
Denna gissning har visat sig vara sann för alla heltal mindre än 4 × 1018, men förblir obevisad trots betydande ansträngningar från matematiker.
Number
Goldbach-talet är ett positivt jämnt heltal som är summan av ett par udda primtal. En annan form av Goldbach-förmodan är att alla jämna heltal större än fyra är Goldbach-tal.
Separation av sådana nummer kallas Goldbachs partition (eller partition). Nedan finns exempel på liknande avsnitt för vissa jämna nummer:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Upptäckt av hypotesen
Goldbach hade en kollega som hette Euler, som gillade att räkna, skriva komplexa formler och lägga fram olösliga teorier. I detta liknade de Goldbach. Euler gjorde en liknande matematisk gåta redan före Goldbach, med vilken hanständig korrespondens. Han föreslog sedan ett andra förslag i marginalen på sitt manuskript, enligt vilket ett heltal större än 2 kunde skrivas som summan av tre primtal. Han ansåg 1 vara ett primtal.
De två hypoteserna är nu kända för att likna varandra, men detta verkade inte vara ett problem vid den tiden. Den moderna versionen av Goldbachs problem säger att varje heltal större än 5 kan skrivas som summan av tre primtal. Euler svarade i ett brev daterat den 30 juni 1742 och påminde Goldbach om ett tidigare samtal de hade ("… så vi talar om den ursprungliga (och inte marginella) hypotesen som härrör från följande uttalande").
Euler-Goldbach-problem
2 och dess jämna tal kan skrivas som summan av två primtal, vilket också är Goldbachs gissning. I ett brev daterat den 30 juni 1742 uppgav Euler att varje jämnt heltal är resultatet av tillägget av två primtal, som han anser vara en väldefinierad sats, även om han inte kan bevisa det.
Tredje version
Den tredje versionen av Goldbachs problem (motsvarande de två andra versionerna) är den form som gissningarna vanligtvis ges idag. Den är också känd som den "starka", "jämna" eller "binära" Goldbach-förmodan för att skilja den från den svagare hypotesen som idag är känd som den "svaga", "udda" eller "ternära" Goldbach-förmodan. Den svaga gissningen säger att alla udda tal större än 7 är summan av tre udda primtal. Den svaga gissningen bevisades 2013. Den svaga hypotesen ären konsekvens av en stark hypotes. Den omvända följden och den starka Goldbach-förmodan förblir obevisade än i dag.
Check
För små värden på n kan Goldbach-problemet (och därmed Goldbach-förmodan) verifieras. Till exempel testade Nils Pipping 1938 hypotesen noggrant upp till n ≦ 105. Med tillkomsten av de första datorerna beräknades många fler värden på n.
Oliveira Silva utförde en distribuerad datorsökning som bekräftade hypotesen för n ≦ 4 × 1018 (och dubbelkollade upp till 4 × 1017) från och med 2013. En post från den här sökningen är att 3 325 581 707 333 960 528 är det minsta talet som inte har en Goldbach-delning med ett primtal under 9781.
Heuristics
Versionen för den starka formen av Goldbachs gissning är följande: eftersom kvantiteten tenderar till oändlighet när n ökar, förväntar vi oss att varje stort jämnt heltal har mer än en representation som summan av två primtal. Men i själva verket finns det många sådana representationer. Vem löste Goldbach-problemet? Ack, fortfarande ingen.
Detta heuristiska argument är faktiskt något oprecist, eftersom det antar att m är statistiskt oberoende av n. Till exempel, om m är udda, så är n - m också udda, och om m är jämnt, så är n - m jämnt, och detta är en icke-trivial (komplex) relation, eftersom förutom talet 2, bara udda tal kan vara primtal. På liknande sätt, om n är delbart med 3 och m redan var ett annat primtal än 3, så är n - m också ömsesidigtprimtal med 3, så mer sannolikt är ett primtal i motsats till ett tot alt tal. Genom att utföra denna typ av analys mer noggrant, gjorde Hardy och Littlewood 1923, som en del av deras berömda Hardy-Littlewood enkla tupelförmodan, ovanstående förfining av hela teorin. Men det har inte hjälpt till att lösa problemet hittills.
stark hypotes
Den starka Goldbach-gissningen är mycket mer komplicerad än den svaga Goldbach-gissningen. Shnirelman bevisade senare att alla naturliga tal större än 1 kan skrivas som summan av högst C-primtal, där C är en effektivt beräkningsbar konstant. Många matematiker försökte lösa det genom att räkna och multiplicera tal, erbjuda komplexa formler, etc. Men de lyckades aldrig, eftersom hypotesen är för komplicerad. Inga formler hjälpte.
Men det är värt att gå bort från frågan om att bevisa Goldbachs problem lite. Shnirelman-konstanten är det minsta C-talet med denna egenskap. Shnirelman fick själv C <800 000. Detta resultat kompletterades sedan av många författare, som Olivier Ramaret, som 1995 visade att varje jämnt tal n ≧ 4 faktiskt är summan av högst sex primtal. Det mest kända resultatet för närvarande förknippat med Goldbach-teorin av Harald Helfgott.
Vidareutveckling
1924 övertog Hardy och Littlewood G. R. H. visade att antalet jämna tal upp till X, vilket bryter mot det binära Goldbach-problemet, är mycket mindre än för små c.
1973 Chen JingyunJag försökte lösa det här problemet, men det fungerade inte. Han var också matematiker, så han var väldigt förtjust i att lösa gåtor och bevisa satser.
År 1975 visade två amerikanska matematiker att det finns positiva konstanter c och C - de som N är tillräckligt stor för. I synnerhet har mängden jämna heltal noll densitet. Allt detta var användbart för arbetet med lösningen av det ternära Goldbach-problemet, som kommer att äga rum i framtiden.
År 1951 bevisade Linnik existensen av en konstant K så att varje tillräckligt stort jämnt tal är resultatet av att man adderar ett primtal och ett annat primtal till varandra. Roger Heath-Brown och Jan-Christoph Schlage-Puchta fann 2002 att K=13 fungerar. Det här är väldigt intressant för alla människor som gillar att lägga till varandra, lägga ihop olika siffror och se vad som händer.
Lösning av Goldbach-problemet
Som med många välkända gissningar inom matematik, finns det ett antal påstådda bevis för Goldbach-förmodan, av vilka ingen accepteras av det matematiska samfundet.
Även om Goldbachs gissning antyder att varje positivt heltal större än ett kan skrivas som summan av högst tre primtal, är det inte alltid möjligt att hitta en sådan summa med hjälp av en girig algoritm som använder största möjliga primtal vid varje steg. Pillai-sekvensen håller reda på talen som kräver flest primtal i sina giriga representationer. Därför lösningen på Goldbach-problemetfortfarande i fråga. Ändå kommer det förr eller senare med största sannolikhet att lösas.
Det finns teorier som liknar Goldbachs problem där primtal ersätts av andra specifika uppsättningar av tal, till exempel kvadrater.
Christian Goldbach
Christian Goldbach var en tysk matematiker som också studerade juridik. Han är ihågkommen i dag för Goldbach-förmodan.
Han arbetade som matematiker hela sitt liv - han var väldigt förtjust i att lägga till tal, uppfinna nya formler. Han kunde också flera språk, på vilka han förde sin personliga dagbok. Dessa språk var tyska, franska, italienska och ryska. Enligt vissa källor talade han också engelska och latin. Han var känd som en ganska känd matematiker under sin livstid. Goldbach var också ganska nära knuten till Ryssland, eftersom han hade många ryska kollegor och kungafamiljens personliga gunst.
Han fortsatte att arbeta vid den nyöppnade vetenskapsakademin i St. Petersburg 1725 som professor i matematik och historiker vid akademin. År 1728, när Peter II blev tsar av Ryssland, blev Goldbach hans mentor. 1742 gick han in i det ryska utrikesdepartementet. Det vill säga, han arbetade faktiskt i vårt land. På den tiden kom många vetenskapsmän, författare, filosofer och militärer till Ryssland, eftersom Ryssland på den tiden var ett land med möjligheter som Amerika. Många har gjort karriär här. Och vår hjälte är inget undantag.
Christian Goldbach var flerspråkig - han skrev en dagbok på tyska och latin, sina brevskrevs på tyska, latin, franska och italienska, och för officiella dokument använde han ryska, tyska och latin.
Han dog den 20 november 1764 vid 74 års ålder i Moskva. Dagen då Goldbachs problem är löst kommer att vara en passande hyllning till hans minne.
Slutsats
Goldbach var en stor matematiker som gav oss ett av den här vetenskapens största mysterier. Det är inte känt om det någonsin kommer att lösas eller inte. Vi vet bara att dess förmodade upplösning, som i fallet med Fermats teorem, kommer att öppna upp nya perspektiv för matematiken. Matematiker är väldigt förtjusta i att lösa och analysera det. Det är väldigt intressant och nyfiket ur en heuristisk synvinkel. Även matematikelever gillar att lösa Goldbach-problemet. Hur annars? När allt kommer omkring är unga människor ständigt attraherade av allt ljust, ambitiöst och olöst, för genom att övervinna svårigheter kan man hävda sig. Låt oss hoppas att detta problem snart kommer att lösas av unga, ambitiösa, nyfikna hjärnor.
