Omvända trigonometriska funktioner orsakar traditionellt problem för skolbarn. Förmågan att beräkna bågtangensen för ett tal kan krävas i USE-uppgifter inom planimetri och stereometri. För att framgångsrikt lösa en ekvation och ett problem med en parameter måste du ha förståelse för egenskaperna hos bågtangensfunktionen.
Definition
Bågtangensen för ett tal x är ett tal y vars tangent är x. Detta är den matematiska definitionen.
Arctangensfunktionen skrivs som y=arctg x.
Mer allmänt: y=Carctg (kx + a).
Kalkyl
För att förstå hur den inversa trigonometriska funktionen hos arctangens fungerar måste du först komma ihåg hur värdet på tangenten till ett tal bestäms. Låt oss ta en närmare titt.
Tangensen för x är förhållandet mellan sinus för x och cosinus för x. Om åtminstone en av dessa två storheter är känd, kan modulen för den andra erhållas från den grundläggande trigonometriska identiteten:
sin2 x + cos2 x=1.
Vissligen kommer en bedömning att krävas för att låsa upp modulen.
Iftalet i sig är känt och inte dess trigonometriska egenskaper, då är det i de flesta fall nödvändigt att ungefär uppskatta tangensen för talet genom att hänvisa till Bradis-tabellen.
Undantag är de så kallade standardvärdena.
De presenteras i följande tabell:
Utöver ovanstående kan alla värden som erhållits från data genom att lägga till ett tal av formen ½πк (к - vilket heltal som helst, π=3, 14) betraktas som standard.
Exakt samma sak gäller för bågtangens: oftast kan det ungefärliga värdet ses från tabellen, men endast ett fåtal värden är kända med säkerhet:
I praktiken, när man löser problem i skolmatematik, är det vanligt att ge ett svar i form av ett uttryck som innehåller bågtangensen, och inte dess ungefärliga uppskattning. Till exempel, arctg 6, arctg (-¼).
Plotta en graf
Eftersom tangenten kan ha vilket värde som helst, är domänen för arctangensfunktionen hela tallinjen. Låt oss förklara mer i detalj.
Samma tangent motsvarar ett oändligt antal argument. Till exempel är inte bara tangenten till noll lika med noll, utan också tangenten till valfritt tal av formen π k, där k är ett heltal. Därför gick matematiker överens om att välja värden för bågtangensen från intervallet från -½ π till ½ π. Det måste förstås på detta sätt. Området för arctangent-funktionen är intervallet (-½ π; ½ π). Sp altens ändar ingår inte, eftersom tangenterna -½p och ½p inte finns.
På det angivna intervallet är tangenten kontinuerligökar. Det betyder att den inversa funktionen av bågtangensen också ökar kontinuerligt på hela tallinjen, men avgränsad uppifrån och under. Som ett resultat har den två horisontella asymptoter: y=-½ π och y=½ π.
I det här fallet, tg 0=0, andra skärningspunkter med abskissaxeln, förutom (0;0), kan grafen inte ha på grund av ökning.
Som följer av tangentfunktionens paritet har arctangens en liknande egenskap.
För att bygga en graf, ta flera punkter bland standardvärdena:
Derivatan av funktionen y=arctg x vid valfri punkt beräknas med formeln:
Observera att dess derivata är positiv överallt. Detta överensstämmer med den slutsats som gjorts tidigare om den kontinuerliga ökningen av funktionen.
Den andra derivatan av arctangens försvinner vid punkt 0, är negativ för positiva värden av argumentet och vice versa.
Detta betyder att kurvan för bågtangensfunktionen har en böjningspunkt vid noll och är konvex nedåt på intervallet (-∞; 0] och uppåtkonvex på intervallet [0; +∞).
