Att lösa ekvationer i matematik har en speciell plats. Denna process föregås av många timmars studier av teorin, under vilken studenten lär sig att lösa ekvationer, bestämma deras form och föra färdigheten till full automatism. Men sökandet efter rötter är inte alltid vettigt, eftersom de kanske helt enkelt inte existerar. Det finns speciella metoder för att hitta rötter. I den här artikeln kommer vi att analysera huvudfunktionerna, deras omfattning, såväl som fall där deras rötter saknas.
Vilken ekvation har inga rötter?
En ekvation har inga rötter om det inte finns sådana reella argument x för vilka ekvationen är identiskt sann. För en icke-specialist ser denna formulering, precis som de flesta matematiska satser och formler, väldigt vag och abstrakt ut, men detta är i teorin. I praktiken blir allt extremt enkelt. Till exempel: ekvationen 0x=-53 har ingen lösning, eftersom det inte finns något sådant tal x, vars produkt med noll skulle ge något annat än noll.
Nu ska vi titta på de mest grundläggande typerna av ekvationer.
1. Linjär ekvation
En ekvation kallas linjär om dess högra och vänstra del representeras som linjära funktioner: ax + b=cx + d eller i en generaliserad form kx + b=0. Där a, b, c, d är kända siffror, och x är en okänd storhet. Vilken ekvation har inga rötter? Exempel på linjära ekvationer visas i illustrationen nedan.
I princip löses linjära ekvationer genom att helt enkelt flytta taldelen till en del och innehållet i x till den andra. Det visar sig en ekvation av formen mx \u003d n, där m och n är tal och x är okänd. För att hitta x räcker det att dividera båda delarna med m. Då är x=n/m. I grund och botten har linjära ekvationer bara en rot, men det finns fall då det antingen finns oändligt många rötter eller inga alls. Med m=0 och n=0 har ekvationen formen 0x=0. Absolut vilket tal som helst kommer att vara lösningen på en sådan ekvation.
Men vilken ekvation har inga rötter?
När m=0 och n=0, har ekvationen inga rötter från mängden reella tal. 0x=-1; 0x=200 - dessa ekvationer har inga rötter.
2. Andragradsekvation
En andragradsekvation är en ekvation av formen ax2 + bx + c=0 för a=0. Det vanligaste sättet att lösa en andragradsekvation är att lösa den genom diskriminanten. Formeln för att hitta diskriminanten för en andragradsekvation: D=b2 - 4ac. Sedan finns det två rötter x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
När D > 0 har ekvationen två rötter, när D=0 - en rot. Men vilken andragradsekvation har inga rötter?Det enklaste sättet att observera antalet rötter i en andragradsekvation är på grafen för en funktion, som är en parabel. Vid a > 0 är grenarna riktade uppåt, vid a < 0 sänks grenarna ner. Om diskriminanten är negativ har en sådan andragradsekvation inga rötter i mängden reella tal.
Du kan också visuellt bestämma antalet rötter utan att beräkna diskriminanten. För att göra detta måste du hitta toppen av parabeln och bestämma i vilken riktning grenarna är riktade. Du kan bestämma x-koordinaten för en vertex med formeln: x0 =-b / 2a. I det här fallet hittas y-koordinaten för toppunkten genom att helt enkelt ersätta x0-värdet i den ursprungliga ekvationen.
Andragradsekvationen x2 – 8x + 72=0 har inga rötter eftersom den har en negativ diskriminant D=(–8)2 - 4172=-224. Detta betyder att parabeln inte rör x-axeln och funktionen tar aldrig värdet 0, därför har ekvationen inga reella rötter.
3. Trigonometriska ekvationer
Trigonometriska funktioner betraktas på en trigonometrisk cirkel, men kan också representeras i ett kartesiskt koordinatsystem. I den här artikeln kommer vi att titta på två grundläggande trigonometriska funktioner och deras ekvationer: sinx och cosx. Eftersom dessa funktioner bildar en trigonometrisk cirkel med radien 1, |sinx| och |cosx| kan inte vara större än 1. Så vilken sinx-ekvation har inga rötter? Betrakta grafen för sinx-funktionen som visas i bildennedan.
Vi ser att funktionen är symmetrisk och har en repetitionsperiod på 2pi. Baserat på detta kan vi säga att det maximala värdet för denna funktion kan vara 1 och minsta -1. Till exempel kommer uttrycket cosx=5 inte att ha rötter, eftersom dess modulo är större än en.
Detta är det enklaste exemplet på trigonometriska ekvationer. Faktum är att deras lösning kan ta många sidor, i slutet av vilka du inser att du använde fel formel och du måste börja om från början. Ibland, även om rötterna hittats korrekt, kan du glömma att ta hänsyn till begränsningarna för ODZ, vilket är anledningen till att en extra rot eller ett intervall visas i svaret, och hela svaret förvandlas till ett felaktigt. Följ därför strikt alla begränsningar, eftersom inte alla rötter passar in i uppgiftens omfattning.
4. Ekvationssystem
Ett ekvationssystem är en uppsättning ekvationer kombinerade med krulliga eller hakparenteser. Lockiga hängslen betecknar det gemensamma utförandet av alla ekvationer. Det vill säga, om åtminstone en av ekvationerna inte har några rötter eller motsäger den andra, har hela systemet ingen lösning. Hakparenteser betecknar ordet "eller". Det betyder att om åtminstone en av systemets ekvationer har en lösning, så har hela systemet en lösning.
Svaret för systemet med hakparenteser är helheten av alla rötter i de individuella ekvationerna. Och system med lockiga hängslen har bara gemensamma rötter. Ekvationssystem kan innehålla absolut olika funktioner, så denna komplexitet är det intelåter dig omedelbart se vilken ekvation som inte har några rötter.
Generalisering och tips för att hitta rötterna till ekvationen
I problemböcker och läroböcker finns det olika typer av ekvationer: de som har rötter och de som inte har dem. För det första, om du inte kan hitta rötter, tro inte att de inte existerar alls. Du kanske har gjort ett misstag någonstans, då är det bara att dubbelkolla din lösning.
Vi har täckt de mest grundläggande ekvationerna och deras typer. Nu kan du se vilken ekvation som inte har några rötter. I de flesta fall är detta inte alls svårt att göra. För att nå framgång med att lösa ekvationer krävs bara uppmärksamhet och koncentration. Öva mer, det hjälper dig att navigera i materialet mycket bättre och snabbare.
Så, ekvationen har inga rötter om:
- i den linjära ekvationen mx=n värdet m=0 och n=0;
- i en andragradsekvation om diskriminanten är mindre än noll;
- i en trigonometrisk ekvation av formen cosx=m / sinx=n, om |m| > 0, |n| > 0;
- i ett ekvationssystem med krulliga parenteser om minst en ekvation inte har några rötter, och med hakparenteser om alla ekvationer inte har några rötter.
