Nummersystem – vad är det? Även utan att veta svaret på denna fråga, använder var och en av oss ofrivilligt nummersystem i våra liv och misstänker det inte. Det stämmer, plural! Det vill säga inte en utan flera. Innan vi ger exempel på icke-positionella nummersystem, låt oss förstå denna fråga, låt oss prata om positionella system också.
Faktura behövs
Sedan urminnes tider hade människor ett behov av att räkna, det vill säga de insåg intuitivt att de på något sätt behövde uttrycka en kvantitativ vision av saker och händelser. Hjärnan antydde att det var nödvändigt att använda föremål för att räkna. Fingrar har alltid varit det bekvämaste, och det är förståeligt, eftersom de alltid är tillgängliga (med sällsynta undantag).
Så de forntida representanterna för människosläktet var tvungna att böja sina fingrar i bokstavlig mening - för att ange antalet dödade mammutar, till exempel. Sådana delar av kontot hade ännu inga namn, utan bara en visuell bild, en jämförelse.
Moderne positionsnummersystem
Siffersystemet är ett sätt (sätt) att representera kvantitativa värden och kvantiteter med hjälp av vissa tecken (symboler eller bokstäver).
Det är nödvändigt att förstå vad som är positionellt och icke-positionellt vid räkning innan du ger exempel på icke-positionella talsystem. Det finns många positionsnummersystem. Nu används följande inom olika kunskapsområden: binär (inkluderar endast två signifikanta element: 0 och 1), hexadecimal (antal tecken - 6), oktal (tecken - 8), duodecimal (tolv tecken), hexadecimal (inkluderar sexton tecken). Dessutom börjar varje rad med tecken i systemen från noll. Modern datorteknik bygger på användningen av binära koder - det binära positionsnummersystemet.
Decim altalsystem
Positionalitet är förekomsten av betydande positioner i varierande grad, på vilka numrets tecken finns. Detta kan bäst demonstreras med exemplet med decim altalssystemet. Vi är trots allt vana vid att använda det från barndomen. Det finns tio tecken i detta system: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ta siffran 327. Det har tre tecken: 3, 2, 7. Var och en av dem finns i sin egen position (plats). De sju tar positionen reserverad för enstaka värden (enheter), två - tiotal och tre - hundra. Eftersom numret är tresiffrigt finns det därför bara tre positioner i det.
Baserat på ovanstående, dettaett tresiffrigt decim altal kan beskrivas på följande sätt: tre hundra, två tiotal och sju enheter. Dessutom räknas positionernas betydelse (viktighet) från vänster till höger, från en svag position (ett) till en starkare (hundratals).
Vi känner oss väldigt bekväma i systemet med decimalpositioner. Vi har tio fingrar på händerna, och samma på fötterna. Fem plus fem - så tack vare fingrarna föreställer vi oss lätt ett dussin från barndomen. Det är därför det är lätt för barn att lära sig multiplikationstabellerna för fem och tio. Och det är också så lätt att lära sig att räkna sedlar, som oftast är multipler (det vill säga dividerat utan rest) med fem och tio.
Andra positionsnummersystem
Till mångas förvåning bör det sägas att inte bara i decimalräkningssystemet är vår hjärna van vid att göra vissa beräkningar. Fram till nu har mänskligheten använt sex- och duodecimala talsystem. Det vill säga, i ett sådant system finns det bara sex tecken (i hexadecimal): 0, 1, 2, 3, 4, 5. I duodecimal finns det tolv av dem: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, där A - anger talet 10, B - talet 11 (eftersom tecknet måste vara ett).
Döm själv. Vi räknar tiden i sexor, eller hur? En timme är sextio minuter (sex tior), en dag är tjugofyra timmar (två gånger tolv), ett år är tolv månader och så vidare… Alla tidsintervall passar lätt in i sex- och duodecimalserier. Men vi är så vana vid det att vi inte ens tänker på det när vi räknar tiden.
Icke-positionella nummersystem. Unary
Det är nödvändigt att definiera vad det är - ett icke-positionellt talsystem. Detta är ett sådant teckensystem där det inte finns några positioner för tecknen för ett nummer, eller principen att "läsa" ett nummer inte beror på positionen. Den har också sina egna regler för att skriva eller räkna.
Låt oss ge exempel på icke-positionella nummersystem. Låt oss gå tillbaka till antiken. Folk behövde ett konto och kom på den enklaste uppfinningen - knutar. Det icke-positionella nummersystemet är nodulärt. Ett föremål (en påse ris, en tjur, en höstack, etc.) räknades till exempel vid köp eller försäljning och knöt en knut på ett snöre.
Som ett resultat gjordes lika många knutar på repet som många påsar med ris (som ett exempel). Men det kan också vara hack på en träpinne, på en stenplatta osv. Ett sådant nummersystem blev känt som nodulärt. Hon har ett andranamn - unary, eller singel ("uno" på latin betyder "en").
Det blir uppenbart att detta talsystem är icke-positionellt. När allt kommer omkring, vilken typ av positioner kan vi prata om när det (positionen) bara är en! Märkligt nog, i vissa delar av jorden, är det unära icke-positionella nummersystemet fortfarande i bruk.
Också icke-positionella nummersystem inkluderar:
- Roman (bokstäver används för att skriva siffror - latinska tecken);
- gamla egyptiska (liknande romerska, symboler användes också);
- alfabetisk (bokstäver i alfabetet användes);
- babyloniska (kilskrift - används direkt ochinverterad "kil");
- grekiska (även kallad alfabetisk).
romerskt siffersystem
Det antika romerska riket, såväl som dess vetenskap, var mycket progressivt. Romarna gav världen många användbara uppfinningar av vetenskap och konst, inklusive deras räknesystem. För tvåhundra år sedan användes romerska siffror för att ange belopp i affärsdokument (på så sätt undvek förfalskning).
Romersk numerering är ett exempel på ett icke-positionellt talsystem, vi känner till det nu. Det romerska systemet används också aktivt, men inte för matematiska beräkningar, utan för snävt fokuserade åtgärder. Till exempel, med hjälp av romerska siffror, är det vanligt att i bokpublikationer ange historiska datum, århundraden, antal volymer, avsnitt och kapitel. Romerska tecken används ofta för att dekorera urtavlor. Och även romersk numrering är ett exempel på ett icke-positionellt talsystem.
Romarna betecknade siffror med latinska bokstäver. Dessutom skrev de ner siffrorna enligt vissa regler. Det finns en lista över nyckelsymboler i det romerska siffersystemet, med hjälp av vilka alla siffror skrevs utan undantag.
| Number (decimal) | romersk siffra (bokstav i det latinska alfabetet) |
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Regler för att komponera nummer
Nödvändigt antal erhölls genom att lägga till tecken (latinska bokstäver) och beräkna deras summa. Låt oss överväga hur tecken är symboliskt skrivna i det romerska systemet och hur de ska "läses". Låt oss lista de viktigaste lagarna för talbildning i det romerska icke-positionella talsystemet.
- Siffran fyra - IV, består av två tecken (I, V - ett och fem). Det erhålls genom att subtrahera det mindre tecknet från det större om det är till vänster. När den mindre skylten är placerad till höger måste du lägga till, då får du siffran sex - VI.
- Det är nödvändigt att lägga till två identiska tecken bredvid varandra. Till exempel: SS är 200 (C är 100) eller XX är 20.
- Om det första tecknet i ett tal är mindre än det andra, kan det tredje tecknet i den här raden vara ett tecken vars värde är ännu mindre än det första. För att undvika förvirring, här är ett exempel: CDX - 410 (i decimal).
- Vissa stora tal kan representeras på olika sätt, vilket är en av nackdelarna med det romerska räknesystemet. Här är några exempel: MVM (romersk)=1000 + (1000 - 5)=1995 (decimal) eller MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. Och det är inte allt.
Aritmetiktrick
Icke-positionella nummersystem är ibland en komplex uppsättning regler för bildandet av tal, deras bearbetning (åtgärder på dem). Aritmetiska operationer i icke-positionella talsystem är inte lättaför moderna människor. Vi avundas inte de antika romerska matematikerna!
Exempel på tillägg. Låt oss försöka lägga till två siffror: XIX + XXVI=XXXV, denna uppgift utförs i två steg:
- Först - ta och lägg till de mindre bråken av siffror: IX + VI=XV (I efter V och I före X "förstör" varandra).
- Andra – lägg till stora bråkdelar av två tal: X + XX=XXX.
Subtraktion är något mer komplicerat. Antalet som ska reduceras måste delas upp i dess beståndsdelar, och sedan ska de duplicerade tecknen reduceras i antalet som ska reduceras och subtraheras. Subtrahera 263 från 500:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
multiplikation av romerska siffror. Förresten är det nödvändigt att nämna att romarna inte hade tecken på aritmetiska operationer, de betecknade dem helt enkelt med ord.
Multipeltalet måste multipliceras med varje enskild symbol i multiplikatorn, vilket resulterade i flera produkter som måste läggas till. Så här multipliceras polynom.
När det gäller division var och förblir denna process i det romerska siffersystemet den svåraste. Här användes den antika romerska kulramen. För att arbeta med honom var folk speciellt utbildade (och inte alla lyckades behärska en sådan vetenskap).
Om nackdelarna med icke-positionella system
Som nämnts ovan har icke-positionella nummersystem sina nackdelar, olägenheter vid användning. Unary är tillräckligt enkelt för enkel räkning, men för aritmetiska och komplexa beräkningar är det inte dettillräckligt bra.
I romerska finns inga enhetliga regler för bildandet av stora tal och förvirring uppstår, och det är också mycket svårt att göra beräkningar i den. Dessutom var det största antalet de antika romarna kunde skriva ner med sin metod 100 000.
