När man studerade egenskaperna hos en andragradsekvation sattes en begränsning - för en diskriminant mindre än noll finns det ingen lösning. Det fastställdes omedelbart att vi talar om en uppsättning reella tal. Det nyfikna sinnet hos en matematiker kommer att vara intresserad - vad är hemligheten i klausulen om verkliga värden?
Med tiden introducerade matematiker begreppet komplexa tal, där det villkorliga värdet av den andra roten av minus ett tas som en enhet.
Historisk bakgrund
Matematisk teori utvecklas sekventiellt, från enkel till komplex. Låt oss ta reda på hur konceptet som kallas "komplext tal" uppstod och varför det behövs.
Från urminnes tider var grunden för matematik den vanliga redogörelsen. Forskarna kände bara till den naturliga uppsättningen av värden. Addition och subtraktion var enkla. När ekonomiska relationer blev mer komplexa började multiplikation användas istället för att lägga till samma värden. Det finns en omvänd operation tillmultiplikation - division.
Begreppet ett naturligt tal begränsade användningen av aritmetiska operationer. Det är omöjligt att lösa alla divisionsproblem på uppsättningen av heltalsvärden. Att arbeta med bråk ledde först till begreppet rationella värden och sedan till irrationella värden. Om det för det rationella är möjligt att ange den exakta platsen för punkten på linjen, så är det för det irrationella omöjligt att ange en sådan punkt. Du kan bara uppskatta intervallet. Föreningen av rationella och irrationella tal bildade en reell mängd, som kan representeras som en viss linje med en given skala. Varje steg längs linjen är ett naturligt tal, och mellan dem finns rationella och irrationella värden.
Den teoretiska matematikens era har börjat. Utvecklingen av astronomi, mekanik, fysik krävde lösningen av allt mer komplexa ekvationer. I allmänhet hittades rötterna till andragradsekvationen. När forskare löste ett mer komplext kubiskt polynom stötte forskare på en motsägelse. Konceptet med en kubrot från ett negativt är vettigt, men för en kvadratrot erhålls osäkerhet. Dessutom är andragradsekvationen bara ett specialfall av den kubiska.
År 1545 föreslog italienaren J. Cardano att man skulle introducera begreppet ett imaginärt tal.
Detta tal är den andra roten av minus ett. Termen komplext tal bildades slutligen bara tre hundra år senare, i verk av den berömda matematikern Gauss. Han föreslog att formellt utvidga alla algebras lagar till det imaginära talet. Den verkliga linjen har utökats tillflygplan. Världen är större.
Grundläggande begrepp
Återkalla ett antal funktioner som har begränsningar för den verkliga uppsättningen:
- y=arcsin(x), definierad mellan negativ och positiv 1.
- y=ln(x), decimallogaritm är vettigt med positiva argument.
- kvadratrot y=√x, beräknas endast för x ≧ 0.
Betecknar i=√(-1), vi introducerar ett sådant koncept som ett imaginärt tal, detta tar bort alla restriktioner från definitionsdomänen för ovanstående funktioner. Uttryck som y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) är meningsfulla i ett utrymme av komplexa tal.
Den algebraiska formen kan skrivas som ett uttryck z=x + i×y på uppsättningen av reella x- och y-värden, och i2 =-1.
Det nya konceptet tar bort alla restriktioner för användningen av alla algebraiska funktioner och liknar en graf av en rät linje i koordinater av reella och imaginära värden.
Komplext plan
Den geometriska formen av komplexa tal gör att vi visuellt kan representera många av deras egenskaper. På Re(z)-axeln markerar vi de verkliga x-värdena, på Im(z) - de imaginära värdena av y, då kommer z-punkten på planet att visa det nödvändiga komplexa värdet.
Definitioner:
- Re(z) - verklig axel.
- Im(z) - betyder den imaginära axeln.
- z - villkorlig punkt i ett komplext tal.
- Det numeriska värdet för längden på vektorn från noll till z kallasmodul.
- Verkliga och imaginära axlar delar upp planet i fjärdedelar. Med ett positivt värde på koordinaterna - jag kvartal. När argumentet för den reella axeln är mindre än 0, och den imaginära axeln är större än 0 - II fjärdedel. När koordinaterna är negativa - III kvartal. Det sista, fjärde kvartalet innehåller många positiva reella värden och negativa imaginära värden.
På ett plan med x- och y-koordinatvärden kan man alltså alltid visualisera en punkt med ett komplext tal. Tecknet i introduceras för att skilja den verkliga delen från den imaginära.
Properties
- När värdet på det imaginära argumentet är noll får vi bara ett tal (z=x), som ligger på den reella axeln och tillhör den reella mängden.
- Specialfall när värdet på det reella argumentet blir noll, motsvarar uttrycket z=i×y platsen för punkten på den imaginära axeln.
- Den allmänna formen av z=x + i×y kommer att vara för värden som inte är noll för argumenten. Indikerar platsen för den punkt som kännetecknar det komplexa talet i ett av kvartalen.
Trigonometrisk notation
Kom ihåg det polära koordinatsystemet och definitionen av de trigonometriska funktionerna sin och cos. Det är uppenbart att med hjälp av dessa funktioner är det möjligt att beskriva platsen för vilken punkt som helst på planet. För att göra detta räcker det att känna till längden på polarstrålen och lutningsvinkeln mot den verkliga axeln.
Definition. En post med formen ∣z ∣ multiplicerad med summan av de trigonometriska funktionerna cos(ϴ) och den imaginära delen i ×sin(ϴ) kallas ett trigonometriskt komplext tal. Här är beteckningen lutningsvinkeln mot den reella axeln
ϴ=arg(z) och r=∣z∣, strållängd.
Från definitionen och egenskaperna för trigonometriska funktioner följer en mycket viktig Moivre-formel:
zn =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).
Med den här formeln är det bekvämt att lösa många ekvationssystem som innehåller trigonometriska funktioner. Speciellt när problemet med att höja sig till en makt uppstår.
Modul och fas
För att komplettera beskrivningen av en komplex uppsättning föreslår vi två viktiga definitioner.
Genom att känna till Pythagoras sats är det lätt att beräkna längden på strålen i det polära koordinatsystemet.
r=∣z∣=√(x2 + y2), en sådan notation på ett komplext utrymme kallas " modul" och karakteriserar avståndet från 0 till en punkt på planet.
Lutningsvinkeln för den komplexa strålen mot den reella linjen ϴ kallas vanligtvis fasen.
Definitionen visar att de reella och imaginära delarna beskrivs med cykliska funktioner. Nämligen:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × sin(ϴ);
Omvänt är fasen relaterad till algebraiska värden genom formeln:
ϴ=arctan(x / y) + µ, korrigering µ introduceras för att ta hänsyn till periodiciteten för geometriska funktioner.
Euler-formel
Matematiker använder ofta exponentialformen. Komplexa plannummer skrivs som uttryck
z=r × ei×ϴ , som följer av Eulerformeln.
Denna post används ofta för praktisk beräkning av fysiska kvantiteter. Presentationsform i formuläretexponentiella komplexa tal är särskilt praktiskt för tekniska beräkningar, där det blir nödvändigt att beräkna kretsar med sinusformade strömmar och det är nödvändigt att känna till värdet på integraler av funktioner med en given period. Själva beräkningarna fungerar som ett verktyg vid konstruktionen av olika maskiner och mekanismer.
Definiera operationer
Som redan nämnts gäller alla algebraiska lagar för att arbeta med grundläggande matematiska funktioner för komplexa tal.
Summaoperation
När komplexa värden läggs till läggs även deras verkliga och imaginära delar till.
z=z1 + z2 där z1 och z2 - allmänna komplexa tal. Om vi transformerar uttrycket, efter att ha öppnat parenteserna och förenklat notationen, får vi det verkliga argumentet x=(x1 + x2), det imaginära argumentet y=(y 1 + y2).
På grafen ser det ut som addition av två vektorer, enligt den välkända parallellogramregeln.
Subtraktionsoperation
Betraktas som ett specialfall av addition, när ett tal är positivt, är det andra negativt, det vill säga ligger i spegelkvartalet. Algebraisk notation ser ut som skillnaden mellan verkliga och imaginära delar.
z=z1 - z2, eller, med hänsyn till argumentens värde, på samma sätt som tillägget operation får vi för de reella värdena x=(x1 - x2) och imaginära y=(y1- y2).
Multiplikation på det komplexa planet
Med hjälp av reglerna för att arbeta med polynom, härleder vi formelnför att lösa komplexa tal.
Följ de allmänna algebraiska reglerna z=z1×z2, beskriv varje argument och lista liknande. De verkliga och imaginära delarna kan skrivas så här:
- x=x1 × x2 - y1 × y2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
Det ser vackrare ut om vi använder exponentiella komplexa tal.
Uttrycket ser ut så här: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × eiϴ2=r1 × r2 × ei(ϴ1+ϴ2).
Vidare helt enkelt multipliceras modulerna och faserna läggs till.
Division
När vi betraktar operationen av division som inversen av multiplikation, får vi ett enkelt uttryck i exponentiell notation. Att dividera värdet z1 med z2 är resultatet av att dividera deras moduler och fasskillnad. Formellt, när man använder den exponentiella formen av komplexa tal, ser det ut så här:
z=z1 / z2 =r1 × e iϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2× ei(ϴ1-ϴ 2).
I form av algebraisk notation skrivs operationen att dividera talen i det komplexa planet lite mer komplicerat:
z=z1 / z2.
Beskriva argument och utföra polynomtransformationer, det är lätt att få värdenx=x1 × x2 + y1 × y2, respektive y=x2 × y1 - x1 × y2 , men inom det beskrivna utrymmet är detta uttryck meningsfullt om z2 ≠ 0.
Extrahera roten
Allt ovanstående kan tillämpas när man definierar mer komplexa algebraiska funktioner - höjning till valfri potens och invers till den - extrahera roten.
Med det allmänna konceptet att höja till makten n får vi definitionen:
zn =(r × eiϴ).
Använd vanliga egenskaper, skriv om som:
zn =rn × eiϴ.
Vi har en enkel formel för att höja ett komplext tal till en potens.
Från definitionen av graden får vi en mycket viktig konsekvens. En jämn potens för den imaginära enheten är alltid 1. Eventuell udda potens för den imaginära enheten är alltid -1.
Låt oss nu studera den inversa funktionen - extrahera roten.
För att underlätta notationen, låt oss ta n=2. Kvadratroten w av det komplexa värdet z på det komplexa planet C anses vara uttrycket z=±, giltigt för alla reella argument som är större än eller lika med noll. För w ≦ 0 finns det ingen lösning.
Låt oss titta på den enklaste andragradsekvationen z2 =1. Använd komplexa talformler och skriv om r2 × ei2ϴ =r2 × ei2ϴ=ei0. Det kan ses från posten att r2 =1 och ϴ=0, därför har vi en unik lösning lika med 1. Men detta motsäger uppfattningen att z=-1 också passar definitionen av en kvadratrot.
Låt oss ta reda på vad vi inte tar hänsyn till. Om vi minns den trigonometriska notationen, återställer vi påståendet - med en periodisk förändring i fasen ϴ ändras inte det komplexa talet. Låt p beteckna periodens värde, då har vi r2 × ei2ϴ =ei(0+p), varifrån 2ϴ=0 + p, eller ϴ=p / 2. Därför, ei0 =1 och eip/2 =-1. Vi fick den andra lösningen, som motsvarar den allmänna förståelsen av kvadratroten.
Så, för att hitta en godtycklig rot av ett komplext tal, följer vi proceduren.
- Skriv exponentialformen w=∣w∣ × ei(arg (w) + pk), k är ett godtyckligt heltal.
- Det önskade talet representeras också i Euler-formen z=r × eiϴ.
- Använd den allmänna definitionen av rotextraktionsfunktionen r ei ϴ =∣w∣ × ei(arg(w) + pk).
- Från de allmänna egenskaperna för likheten mellan moduler och argument skriver vi rn =∣w∣ och nϴ=arg (w) + p×k.
- Den slutliga posten av roten av ett komplext tal beskrivs med formeln z=√∣w∣ × ei ( arg (w) + pk ) / .
- Obs. Värdet av ∣w∣, per definition,är ett positivt reellt tal, så roten till vilken grad som helst är vettig.
Fält och konjugation
Sammanfattningsvis ger vi två viktiga definitioner som är av liten betydelse för att lösa tillämpade problem med komplexa tal, men som är väsentliga för vidareutvecklingen av matematisk teori.
Uttrycken för addition och multiplikation sägs bilda ett fält om de uppfyller axiomen för alla element i det komplexa planet z:
- Den komplexa summan ändras inte från att byta plats med komplexa termer.
- Påståendet är sant - i ett komplext uttryck kan vilken summa av två tal som helst ersättas med deras värde.
- Det finns ett neutr alt värde 0 för vilket z + 0=0 + z=z är sant.
- För alla z finns det en motsats - z, vilket tillägg ger noll.
- När man byter plats för komplexa faktorer, förändras inte den komplexa produkten.
- Multiplikationen av två valfria tal kan ersättas med deras värde.
- Det finns ett neutr alt värde 1, multiplikation med vilket inte ändrar det komplexa talet.
- För varje z ≠ 0 finns det en invers av z-1, som multipliceras med 1.
- Att multiplicera summan av två tal med en tredjedel motsvarar operationen att multiplicera var och en av dem med detta tal och lägga till resultaten.
- 0 ≠ 1.
Siffrorna z1 =x + i×y och z2 =x - i×y kallas konjugat.
Sat. För konjugation är påståendet sant:
- Böjningen av summan är lika med summan av konjugerade element.
- Konjugatet av produkten ärprodukt av konjugationer.
- Böjningen av konjugation är lika med själva talet.
I allmänt algebra kallas sådana egenskaper för fältautomorfismer.
Exempel
Om du följer de givna reglerna och formlerna för komplexa tal kan du enkelt arbeta med dem.
Låt oss överväga de enklaste exemplen.
Problem 1. Använd ekvationen 3y +5 x i=15 - 7i, bestäm x och y.
Beslut. Kom ihåg definitionen av komplexa likheter, då 3y=15, 5x=-7. Därför är x=-7 / 5, y=5.
Uppgift 2. Beräkna värdena 2 + i28 och 1 + i135.
Beslut. Uppenbarligen är 28 ett jämnt tal, från konsekvensen av definitionen av ett komplext tal i potensen har vi i28 =1, vilket betyder att uttrycket 2 + i 28 =3. Det andra värdet, i135 =-1, sedan 1 + i135 =0.
Uppgift 3. Beräkna produkten av värdena 2 + 5i och 4 + 3i.
Beslut. Från de allmänna egenskaperna för multiplikation av komplexa tal får vi (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). Det nya värdet blir -7 + 26i.
Uppgift 4. Beräkna rötterna till ekvationen z3 =-i.
Beslut. Det finns flera sätt att hitta ett komplext tal. Låt oss överväga en av de möjliga. Per definition, ∣ - i∣=1, är fasen för -i -p / 4. Den ursprungliga ekvationen kan skrivas om som r3ei3ϴ =e-p/4+pk, varifrån z=e-p / 12 + pk/3, för alla heltal k.
Lösningsuppsättningen har formen (e-ip/12,eip/4, ei2 p/3).
Varför behöver vi komplexa tal
Historien känner till många exempel när forskare, som arbetar med en teori, inte ens tänker på den praktiska tillämpningen av sina resultat. Matematik är först och främst ett sinnesspel, en strikt anslutning till orsak-och-verkan-relationer. Nästan alla matematiska konstruktioner reduceras till att lösa integral- och differentialekvationer, och de i sin tur, med viss approximation, löses genom att hitta rötterna till polynom. Här möter vi först paradoxen med imaginära siffror.
Forskare som naturforskare, löser helt praktiska problem, tar till lösningar av olika ekvationer, upptäcker matematiska paradoxer. Tolkningen av dessa paradoxer leder till helt fantastiska upptäckter. Den dubbla naturen hos elektromagnetiska vågor är ett sådant exempel. Komplexa tal spelar en avgörande roll för att förstå deras egenskaper.
Detta har i sin tur funnit praktisk tillämpning inom optik, radioelektronik, energi och många andra tekniska områden. Ett annat exempel, mycket svårare att förstå fysiska fenomen. Antimateria förutspåddes i spetsen av en penna. Och bara många år senare börjar försöken att fysiskt syntetisera den.
Tänk inte att det bara finns i fysiken det finns sådana situationer. Inte mindre intressanta upptäckter görs i vilda djur, i syntesen av makromolekyler, under studiet av artificiell intelligens. Och det är allt tack vareexpansion av vårt medvetande, bort från enkel addition och subtraktion av naturvärden.
