Maclaurin-serien och utökning av vissa funktioner

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2023-12-17 05:42

Elever i högre matematik bör vara medvetna om att summan av vissa potensserier som hör till konvergensintervallet för den givna serien visar sig vara en kontinuerlig och obegränsat antal gånger differentierad funktion. Frågan uppstår: är det möjligt att hävda att en given godtycklig funktion f(x) är summan av någon potensserie? Det vill säga under vilka förhållanden kan funktionen f(x) representeras av en potensserie? Vikten av denna fråga ligger i det faktum att det är möjligt att ungefär ersätta funktionen f(x) med summan av de första termerna i potensserien, det vill säga med ett polynom. En sådan ersättning av en funktion med ett ganska enkelt uttryck - ett polynom - är också praktiskt när man löser vissa problem inom matematisk analys, nämligen: vid lösning av integraler, vid beräkning av differentialekvationer, etc.

Det har bevisats att för någon funktion f(х) där derivator upp till (n+1):e ordningen, inklusive den sista, kan beräknas i grannskapet (α _{- R; x}0 _{+ R) av någon punkt x=α formeln är giltig:}

Denna formel är uppkallad efter den berömda vetenskapsmannen Brook Taylor. Serien som hämtas från den föregående kallas för Maclaurin-serien:

Regeln som gör det möjligt att expandera i en Maclaurin-serie:

1. Bestämma derivator av första, andra, tredje… order.
2. Beräkna vad derivatorna vid x=0 är lika med.
3. Spela in Maclaurin-serien för denna funktion och bestäm sedan intervallet för dess konvergens.
4. Bestämma intervallet (-R;R) där resten av Maclaurinformeln

R (x) -> 0 för n -> oändlighet. Om en sådan finns måste funktionen f(x) i den sammanfalla med summan av Maclaurin-serien.

Tänk nu på Maclaurin-serien för individuella funktioner.

1. Så den första blir f(x)=e^x. Naturligtvis, enligt dess egenskaper, har en sådan funktion derivator av olika ordningsföljder, och f^(k)(x)=e^x, där k är lika med alla naturliga tal. Låt oss ersätta x=0. Vi får f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… ^{skulle se ut så här:}

2. Maclaurinserien för funktionen f(x)=sin x. Klargör omedelbart att funktionen för alla okända kommer att ha derivator, förutom f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), där k är lika med vilket naturligt tal som helst. Det vill säga, efter att ha gjort enkla beräkningar kan vi komma till slutsatsen att serien för f(x)=sin x kommer att se ut så här:}

3. Låt oss nu försöka överväga funktionen f(x)=cos x. Hon är för allt det okändahar derivator av godtycklig ordning, och |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Återigen, efter att ha gjort några beräkningar, får vi att serien för f(x)=cos x kommer att se ut så här:

Så, vi har listat de viktigaste funktionerna som kan utökas i Maclaurin-serien, men de kompletteras med Taylor-serien för vissa funktioner. Nu ska vi lista dem. Det är också värt att notera att Taylor- och Maclaurin-serierna är en viktig del av praktiken att lösa serier i högre matematik. Alltså, Taylor-serien.

1. Den första kommer att vara en serie för f-ii f(x)=ln(1+x). Som i de tidigare exemplen, givet oss f (x)=ln (1 + x), kan vi lägga till en serie med den allmänna formen av Maclaurin-serien. Men för denna funktion kan Maclaurin-serien erhållas mycket enklare. Efter att ha integrerat en viss geometrisk serie får vi en serie för f(x)=ln(1+x) av detta prov:

2. Och den andra, som kommer att vara den sista i vår artikel, kommer att vara en serie för f (x) u003d arctg x. För x som hör till intervallet [-1;1] är expansionen giltig:

Det var allt. Den här artikeln undersökte de mest använda Taylor- och Maclaurin-serierna i högre matematik, särskilt vid ekonomiska och tekniska universitet.