I skolans kurs för solid geometri är en av de enklaste figurerna som har dimensioner som inte är noll längs tre rumsliga axlar ett fyrkantigt prisma. Fundera i artikeln på vilken typ av figur det är, vilka element den består av, och även hur du kan beräkna dess yta och volym.
Begreppet prisma
Inom geometrin är ett prisma en rumslig figur, som bildas av två identiska baser och sidoytor som förbinder dessa basers sidor. Observera att båda baserna omvandlas till varandra med hjälp av parallell translation av någon vektor. Denna tilldelning av prismat leder till att alla dess sidor alltid är parallellogram.
Antalet sidor på basen kan vara godtyckligt, från tre. När detta tal tenderar till oändlighet, förvandlas prismat smidigt till en cylinder, eftersom dess bas blir en cirkel, och sidoparallellogrammen, som förbinder, bildar en cylindrisk yta.
Som vilken polyeder som helst kännetecknas ett prisma avsidor (plan som avgränsar figuren), kanter (segment längs vilka två sidor korsar varandra) och hörn (mötespunkter för tre sidor, för ett prisma är två av dem laterala och den tredje är basen). Kvantiteterna av de tre namngivna elementen i figuren är sammankopplade med följande uttryck:
P=C + B - 2
Här är P, C och B antalet kanter, sidor respektive hörn. Detta uttryck är den matematiska notationen av Eulers teorem.
Bilden ovan visar två prismor. Vid basen av en av dem (A) ligger en regelbunden hexagon, och sidosidorna är vinkelräta mot baserna. Figur B visar ett annat prisma. Dess sidor är inte längre vinkelräta mot baserna, och basen är en vanlig femhörning.
Vad är ett fyrkantigt prisma?
Som framgår av beskrivningen ovan bestäms typen av prisma i första hand av typen av polygon som utgör basen (båda baserna är likadana, så vi kan prata om en av dem). Om denna polygon är ett parallellogram får vi ett fyrkantigt prisma. Således är alla sidor av denna typ av prisma parallellogram. Ett fyrkantigt prisma har sitt eget namn - en parallellepiped.
Antalet sidor i en parallellepiped är sex, och varje sida har en liknande parallell till sig. Eftersom lådans baser är två sidor, är de återstående fyra laterala.
Antalet hörn på parallellepipeden är åtta, vilket är lätt att se om vi kommer ihåg att prismats hörn bara bildas vid hörn av baspolygonerna (4x2=8). Genom att tillämpa Eulers teorem får vi antalet kanter:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
Av 12 revben bildas endast 4 oberoende av sidorna. De återstående 8 ligger i planen för figurens baser.
Längre fram i artikeln kommer vi bara att prata om fyrkantiga prismor.
Typer av parallellepipeder
Den första typen av klassificering är egenskaperna hos det underliggande parallellogrammet. Det kan se ut så här:
- regular, vars vinklar inte är lika med 90o;
- rektangel;
- en kvadrat är en vanlig fyrhörning.
Den andra typen av klassificering är vinkeln med vilken sidan korsar basen. Två olika fall är möjliga här:
- den här vinkeln är inte rak, då kallas prismat snett eller snett;
- vinkeln är 90o, då är ett sådant prisma rektangulärt eller bara rakt.
Den tredje typen av klassificering är relaterad till prismats höjd. Om prismat är rektangulärt, och basen är antingen en kvadrat eller en rektangel, så kallas det en kuboid. Om det finns en kvadrat vid basen, prismat är rektangulärt, och dess höjd är lika med längden på sidan av kvadraten, då får vi den välkända kubfiguren.
Prismyta och area
Mängden av alla punkter som ligger på två baser av ett prisma(parallellogram) och på dess sidor (fyra parallellogram) bildar figurens yta. Arean av denna yta kan beräknas genom att beräkna arean av basen och detta värde för sidoytan. Då kommer deras summa att ge det önskade värdet. Matematiskt skrivs detta så här:
S=2So+ Sb
Här är So och Sb arean av basen respektive sidoytan. Siffran 2 före So visas eftersom det finns två baser.
Observera att den skrivna formeln gäller för vilket prisma som helst, och inte bara för arean av ett fyrkantigt prisma.
Det är användbart att komma ihåg att arean av ett parallellogram Sp beräknas med formeln:
Sp=ah
Där symbolerna a och h betecknar längden på en av dess sidor respektive höjden ritad till denna sida.
Arean av ett rektangulärt prisma med en kvadratisk bas
I ett vanligt fyrkantigt prisma är basen en kvadrat. För visshetens skull betecknar vi dess sida med bokstaven a. För att beräkna arean av ett vanligt fyrkantigt prisma bör du känna till dess höjd. Enligt definitionen för denna kvantitet är den lika med längden på den vinkelräta som tappas från en bas till en annan, det vill säga lika med avståndet mellan dem. Låt oss beteckna det med bokstaven h. Eftersom alla sidoytor är vinkelräta mot baserna för den aktuella prismatypen, kommer höjden på ett regelbundet fyrkantigt prisma att vara lika med längden på dess sidokant.
BDen allmänna formeln för ytarean av ett prisma är två termer. Arean av basen i det här fallet är lätt att beräkna, den är lika med:
So=a2
För att beräkna arean av sidoytan, argumenterar vi enligt följande: denna yta är bildad av 4 identiska rektanglar. Dessutom är sidorna på var och en av dem lika med a och h. Detta innebär att arean för Sb kommer att vara lika med:
Sb=4ah
Observera att produkten 4a är omkretsen av den kvadratiska basen. Om vi generaliserar detta uttryck till fallet med en godtycklig bas, så kan sidoytan för ett rektangulärt prisma beräknas enligt följande:
Sb=Poh
Där Po är basens omkrets.
För att återgå till problemet med att beräkna arean av ett regelbundet fyrkantigt prisma, kan vi skriva den slutliga formeln:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Area av en sned parallellepiped
Att beräkna det är något svårare än för en rektangulär. I det här fallet beräknas basarean för ett fyrkantigt prisma med samma formel som för ett parallellogram. Ändringarna gäller hur den laterala ytan bestäms.
För att göra detta, använd samma formel genom omkretsen som anges i stycket ovan. Först nu kommer den att ha lite olika multiplikatorer. Den allmänna formeln för Sb i fallet med ett sned prisma är:
Sb=Psrc
Här är c längden på figurens sidokant. Värdet Psr är omkretsen av den rektangulära skivan. Denna miljö är byggd enligt följande: det är nödvändigt att skära alla sidoytorna med ett plan så att det är vinkelrätt mot dem alla. Den resulterande rektangeln blir det önskade snittet.
Figuren ovan visar ett exempel på en sned ruta. Dess streckade sektion bildar räta vinklar med sidorna. Sektionens omkrets är Psr. Den bildas av fyra höjder av laterala parallellogram. För detta fyrkantiga prisma beräknas den laterala ytan med hjälp av formeln ovan.
Längden på diagonalen på en kuboid
Diagonalen för en parallellepiped är ett segment som förbinder två hörn som inte har gemensamma sidor som bildar dem. Det finns bara fyra diagonaler i ett fyrkantigt prisma. För en kuboid med en rektangel vid basen är längderna på alla diagonaler lika med varandra.
Figuren nedan visar motsvarande siffra. Det röda segmentet är dess diagonal.
Att beräkna dess längd är väldigt enkelt, om du kommer ihåg Pythagoras sats. Varje elev kan få önskad formel. Den har följande form:
D=√(A2+ B2 + C2)
Här är D längden på diagonalen. De återstående tecknen är längden på sidorna av lådan.
Många blandar ihop diagonalen på en parallellepiped med diagonalerna på dess sidor. Nedan är en bild där den färgadesegmenten representerar diagonalerna på figurens sidor.
Längden på var och en av dem bestäms också av Pythagoras sats och är lika med kvadratroten ur summan av kvadraterna av motsvarande sidlängder.
Prismvolym
För att lösa vissa geometriska problem, förutom arean av ett vanligt fyrkantigt prisma eller andra typer av prismor, bör du också känna till deras volym. Detta värde för absolut alla prisma beräknas med följande formel:
V=Soh
Om prismat är rektangulärt räcker det med att beräkna arean av dess bas och multiplicera den med längden på kanten på sidan för att få figurens volym.
Om prismat är ett vanligt fyrkantigt prisma, kommer dess volym att vara:
V=a2h.
Det är lätt att se att denna formel omvandlas till ett uttryck för volymen av en kub om längden på sidokanten h är lika med sidan av basen a.
Problem med ett rätblock
För att konsolidera det studerade materialet kommer vi att lösa följande problem: det finns en rektangulär parallellepiped vars sidor är 3 cm, 4 cm och 5 cm. Det är nödvändigt att beräkna dess yta, diagonallängd och volym.
För tydlighetens skull antar vi att figurens bas är en rektangel med sidorna 3 cm och 4 cm. Då är dess area 12 cm2, och perioden är 14 cm. Med formeln för prismats yta får vi:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94cm2
För att bestämma längden på diagonalen och figurens volym kan du direkt använda uttrycken ovan:
D=√(32+42+52)=7 071 cm;
V=345=60cm3.
Problem med en sned parallellepiped
Figuren nedan visar ett snett prisma. Dess sidor är lika: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Du måste hitta ytan på den här figuren.
Först, låt oss bestämma området för basen. Figuren visar att den spetsiga vinkeln är 50o. Då är dess område:
So=ha=sin(50o)ba
För att bestämma arean på sidoytan bör du hitta omkretsen av den skuggade rektangeln. Sidorna på denna rektangel är asin(45o) och bsin(60o). Då är omkretsen av denna rektangel:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
Den här lådans totala yta är:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Vi ersätter data från problemets tillstånd med längderna på figurens sidor, vi får svaret:
S=458, 5496 cm3
Det framgår av lösningen av detta problem att trigonometriska funktioner används för att bestämma arean av sneda figurer.
