Pythagoras hävdade att numret ligger bakom världen tillsammans med de grundläggande elementen. Platon trodde att talet förbinder fenomenet och noumenonet, vilket hjälper till att känna igen, mäta och dra slutsatser. Aritmetik kommer från ordet "arithmos" - ett tal, början på början i matematik. Den kan beskriva vilket objekt som helst - från ett elementärt äpple till abstrakta utrymmen.
Behov som utvecklingsfaktor
I de tidiga stadierna av samhällsbildningen var människors behov begränsade till behovet av att hålla räkningen - en säck spannmål, två säckar spannmål, etc. Naturliga tal räckte för detta, vars uppsättning är en oändlig positiv sekvens av heltal N.
Senare, med utvecklingen av matematik som vetenskap, fanns det ett behov av ett separat fält med heltal Z - det inkluderar negativa värden och noll. Dess utseende på hushållsnivå provocerades av det faktum att det i den primära redovisningen var nödvändigt att på något sätt fixaskulder och förluster. På ett vetenskapligt plan har negativa tal gjort det möjligt att lösa de enklaste linjära ekvationerna. Bland annat har bilden av ett trivi alt koordinatsystem nu blivit möjlig, eftersom en referenspunkt har dykt upp.
Nästa steg var behovet av att införa bråktal, eftersom vetenskapen inte stod stilla krävde fler och fler upptäckter en teoretisk grund för en ny tillväxtimpuls. Så här såg fältet för rationella tal ut Q.
Äntligen upphörde rationaliteten att tillfredsställa önskemål, eftersom alla nya slutsatser krävde motivering. Det dök upp fältet för reella siffror R, verk av Euklid om inkommensurabiliteten av vissa kvantiteter på grund av deras irrationalitet. Det vill säga, forntida grekiska matematiker placerade talet inte bara som en konstant, utan också som en abstrakt kvantitet, som kännetecknas av förhållandet mellan inkommensurable kvantiteter. På grund av det faktum att reella tal uppträdde, såg sådana mängder som "pi" och "e" ljuset, utan vilka modern matematik inte kunde äga rum.
Den sista innovationen var det komplexa talet C. Det besvarade ett antal frågor och motbevisade de tidigare införda postulaten. På grund av den snabba utvecklingen av algebra var resultatet förutsägbart - med reella tal var det omöjligt att lösa många problem. Till exempel, tack vare komplexa tal, stack teorin om strängar och kaos ut, och hydrodynamikens ekvationer expanderade.
Mängdteori. Cantor
Begreppet oändlighet hela tidenorsakade kontroverser, eftersom det varken kunde bevisas eller motbevisas. I matematiksammanhang, som arbetade med strikt verifierade postulat, visade sig detta tydligast, särskilt eftersom den teologiska aspekten fortfarande hade tyngd i vetenskapen.
Men tack vare matematikern Georg Kantors arbete föll allt på plats med tiden. Han bevisade att det finns ett oändligt antal oändliga mängder, och att fältet R är större än fältet N, även om de båda inte har något slut. I mitten av 1800-talet kallades hans idéer högljutt nonsens och ett brott mot klassiska, orubbliga kanoner, men tiden satte allt på sin plats.
Grundläggande egenskaper för fältet R
Reella tal har inte bara samma egenskaper som de delmängder som ingår i dem, utan kompletteras också med andra på grund av skalan på deras element:
- Noll finns och tillhör fältet R. c + 0=c för valfritt c från R.
- Noll finns och tillhör fältet R. c x 0=0 för valfritt c från R.
- Relationen c: d för d ≠ 0 finns och är giltig för alla c, d från R.
- Fältet R är ordnat, det vill säga om c ≦ d, d ≦ c, då c=d för valfritt c, d från R.
- Addition i fältet R är kommutativ, dvs. c + d=d + c för valfritt c, d från R.
- Multiplikation i fältet R är kommutativ, dvs. c x d=d x c för valfritt c, d från R.
- Addition i fältet R är associativ, dvs (c + d) + f=c + (d + f) för alla c, d, f från R.
- Multiplikation i fältet R är associativ, dvs (c x d) x f=c x (d x f) för alla c, d, f från R.
- För varje tal i fältet R finns en motsats, så att c + (-c)=0, där c, -c är från R.
- För varje tal från fältet R finns dess invers, så att c x c-1 =1, där c, c-1 från R.
- Enheten finns och tillhör R, så c x 1=c, för valfritt c från R.
- Fördelningslagen är giltig, så c x (d + f)=c x d + c x f, för alla c, d, f från R.
- I fält R är noll inte lika med ett.
- Fältet R är transitivt: om c ≦ d, d ≦ f, då c ≦ f för valfritt c, d, f från R.
- I fältet R är ordning och addition relaterade: om c ≦ d, då c + f ≦ d + f för valfritt c, d, f från R.
- I fältet R är ordning och multiplikation relaterade: om 0 ≦ c, 0 ≦ d, då 0 ≦ c x d för valfritt c, d från R.
- Både negativa och positiva reella tal är kontinuerliga, det vill säga för alla c, d från R, finns det ett f från R så att c ≦ f ≦ d.
Modul i fält R
Reella tal inkluderar modul.
Betecknas som |f| för vilket f från R. |f|=f om 0 ≦ f och |f|=-f om 0 > f. Om vi betraktar modulen som en geometrisk storhet så är det den tillryggalagda sträckan - det spelar ingen roll om du "passerade" noll till minus eller framåt till plus.
Komplexa och reella tal. Vilka är likheterna och vilka är skillnaderna?
I stort sett är komplexa och reella tal ett och samma, förutom detimaginär enhet i, vars kvadrat är -1. Elementen i fälten R och C kan representeras som följande formel:
c=d + f x i, där d, f tillhör fältet R och i är den imaginära enheten
För att få c från R i detta fall sätts f helt enkelt lika med noll, det vill säga bara den reella delen av talet finns kvar. På grund av det faktum att fältet för komplexa tal har samma uppsättning egenskaper som fältet för reella tal, f x i=0 om f=0.
När det gäller praktiska skillnader, till exempel i R-fältet, löses inte andragradsekvationen om diskriminanten är negativ, medan C-fältet inte lägger en sådan begränsning på grund av införandet av den imaginära enheten i.
Resultat
"tegelstenarna" i de axiom och postulat som matematiken bygger på förändras inte. På grund av den ökade informationen och införandet av nya teorier placeras följande "tegelstenar" på några av dem, som i framtiden kan ligga till grund för nästa steg. Till exempel, naturliga tal, trots att de är en delmängd av det reella fältet R, förlorar inte sin relevans. Det är på dem som all elementär aritmetik är baserad, med vilken mänsklig kunskap om världen börjar.
Från en praktisk synvinkel ser reella tal ut som en rak linje. På den kan du välja riktning, ange ursprung och steg. En rät linje består av ett oändligt antal punkter, som var och en motsvarar ett enda reellt tal, oavsett om det är rationellt eller inte. Det framgår av beskrivningen att vi talar om ett begrepp som både matematik i allmänhet och matematisk analys i allmänhet bygger på.speciellt.
