Matematik kommer från antiken. Tack vare henne gav arkitektur, konstruktion och militärvetenskap en ny omgång av utveckling, de prestationer som erhölls med hjälp av matematik ledde till framstegsrörelsen. Än idag förblir matematik den huvudsakliga vetenskapen som finns inom alla andra grenar.
För att bli utbildade börjar barn från första klass gradvis smälta in i denna miljö. Det är mycket viktigt att förstå matematik, eftersom det i en eller annan grad förekommer för varje person under hela livet. Den här artikeln kommer att analysera ett av nyckelelementen - att hitta och använda derivator. Inte alla kan föreställa sig hur brett detta koncept används. Överväg mer än 10 tillämpningar av derivat inom vissa områden eller vetenskaper.
Tillämpning av derivatan för att studera en funktion
Derivatet är en sådan gränsförhållandet mellan ökningen av en funktion och ökningen av dess argument när exponenten för argumentet tenderar till noll. Derivatan är en oumbärlig sak i studiet av en funktion. Till exempel kan den användas för att bestämma ökningen och minskningen av den senare, extrema, konvexitet och konkavitet. Differentialkalkyl ingår i den obligatoriska läroplanen för 1:a och 2:a årsstudenter vid matematiska universitet.
Omfång och funktionsnollor
Det första steget i en studie av grafen börjar med att ta reda på definitionsdomänen, i mer sällsynta fall - värdet. Definitionsdomänen sätts längs abskissaxeln, med andra ord, dessa är numeriska värden på OX-axeln. Ofta är omfattningen redan inställd, men om den inte är det, bör värdet på x-argumentet utvärderas. Antag att om funktionen för vissa värden i argumentet inte är meningsfull, så exkluderas detta argument från räckvidden.
Nollor i funktionen hittas på ett enkelt sätt: funktionen f(x) ska likställas med noll och den resulterande ekvationen ska lösas med avseende på en variabel x. De erhållna rötterna till ekvationen är funktionens nollor, det vill säga i dessa x är funktionen 0.
Öka och minska
Användningen av derivatan för att studera funktioner för monotoni kan övervägas från två positioner. En monoton funktion är en kategori som endast har positiva värden av derivatan, eller bara negativa värden. Med enkla ord, funktionen ökar eller minskar bara över hela intervallet som studeras:
- Öka parameter. Fungeraf(x) kommer att öka om derivatan av f`(x) är större än noll.
- Fallande parameter. Funktionen f(x) kommer att minska om derivatan av f`(x) är mindre än noll.
Tangent and Slope
Tillämpningen av derivatan för att studera en funktion bestäms också av tangenten (rät linje riktad i en vinkel) till grafen för funktionen vid en given punkt. Tangent vid en punkt (x0) - en linje som passerar genom en punkt och tillhör funktionen vars koordinater är (x0, f(x) 0 )) och har lutning f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - ekvationen för tangenten till den givna punkten i grafen för funktionen.
Geometrisk betydelse av derivatan: derivatan av funktionen f(x) är lika med lutningen av den bildade tangenten till grafen för denna funktion i en given punkt x. Vinkelkoefficienten är i sin tur lika med tangenten för lutningsvinkeln för tangenten till OX-axeln (abskissan) i positiv riktning. Denna följd är grundläggande för tillämpningen av derivatan på grafen för en funktion.
Extrempoäng
Att tillämpa ett derivat på en studie innebär att hitta höga och låga poäng.
För att hitta och bestämma lägsta och högsta poäng måste du:
- Hitta derivatan av funktionen f(x).
- Ställ in den resulterande ekvationen till noll.
- Hitta rötterna till ekvationen.
- Hitta höga och låga punkter.
För att hitta ytterligheterfunktioner:
- Hitta lägsta och högsta poäng med metoden ovan.
- Ersätt dessa punkter i den ursprungliga ekvationen och beräkna ymax och ymin
Funktionens maximala punkt är det största värdet av funktionen f(x) på intervallet, med andra ord xmax.
Minimipunkten för funktionen är det minsta värdet av funktionen f(x) på intervallet, med andra ord xname
Extremumpoäng är samma som max- och minimumpoängen och funktionens yttersta punkt (ymax. och yminimum) - funktionsvärden som motsvarar extrema punkter.
Konvexitet och konkavitet
Du kan bestämma konvexiteten och konkaviteten genom att använda derivatan för att plotta:
- En funktion f(x) som undersöks i intervallet (a, b) är konkav om funktionen är placerad under alla sina tangenter inom detta intervall.
- Funktionen f(x) som studeras på intervallet (a, b) är konvex om funktionen är placerad ovanför alla sina tangenter inom detta intervall.
Punkten som skiljer konvexitet och konkavitet kallas för funktionens böjningspunkt.
För att hitta böjningspunkter:
- Hitta kritiska punkter av det andra slaget (andra derivatan).
- Böjningspunkter är de kritiska punkter som skiljer två motsatta tecken åt.
- Beräkna funktionsvärden ved funktionsböjningspunkter.
partiella derivat
Ansökandet finns derivator av denna typ i problem där mer än en okänd variabel används. Oftast stöter man på sådana derivator när man ritar en funktionsgraf, för att vara mer exakt, ytor i rymden, där det istället för två axlar finns tre, alltså tre storheter (två variabler och en konstant).
Grundregeln vid beräkning av partiella derivator är att välja en variabel och behandla resten som konstanter. Därför, när man beräknar den partiella derivatan, blir konstanten som om ett numeriskt värde (i många tabeller av derivator betecknas de som C=const). Betydelsen av en sådan derivata är förändringshastigheten för funktionen z=f(x, y) längs OX- och OY-axlarna, det vill säga den karakteriserar brantheten i fördjupningarna och utbuktningarna på den konstruerade ytan.
Derivat i fysik
Användningen av derivatan i fysiken är utbredd och viktig. Fysisk betydelse: derivatan av banan med avseende på tid är hastigheten, och accelerationen är derivatan av hastigheten med avseende på tid. Från den fysiska betydelsen kan många grenar dras till olika grenar av fysiken, samtidigt som betydelsen av derivatan helt bevaras.
Med hjälp av derivatan hittas följande värden:
- Hastighet i kinematik, där derivatan av tillryggalagd sträcka beräknas. Om den andra derivatan av banan eller den första derivatan av hastigheten hittas, så hittas kroppens acceleration. Dessutom är det möjligt att hitta den momentana hastigheten för en materialpunkt, men för detta är det nödvändigt att känna till inkrementet ∆t och ∆r.
- I elektrodynamik:beräkning av den momentana styrkan hos växelströmmen, såväl som EMF för elektromagnetisk induktion. Genom att beräkna derivatan kan du hitta den maximala effekten. Derivatan av mängden elektrisk laddning är strömstyrkan i ledaren.
Derivat i kemi och biologi
Kemi: Derivatan används för att bestämma hastigheten för en kemisk reaktion. Den kemiska betydelsen av derivatan: funktion p=p(t), i detta fall är p mängden av ett ämne som går in i en kemisk reaktion i tiden t. ∆t - tidsökning, ∆p - ämnesmängdsökning. Gränsen för förhållandet ∆p till ∆t, vid vilken ∆t tenderar mot noll, kallas hastigheten för en kemisk reaktion. Medelvärdet för en kemisk reaktion är förhållandet ∆p/∆t. När man bestämmer hastigheten är det nödvändigt att veta exakt alla nödvändiga parametrar, förhållanden, för att känna till ämnets och flödesmediets aggregerade tillstånd. Detta är en ganska stor aspekt inom kemi, som används flitigt i olika industrier och mänskliga aktiviteter.
Biologi: konceptet med ett derivat används för att beräkna den genomsnittliga reproduktionshastigheten. Biologisk betydelse: vi har en funktion y=x(t). ∆t - tidsökning. Sedan får vi med hjälp av några transformationer funktionen y`=P(t)=x`(t) - den vitala aktiviteten för populationen av tiden t (genomsnittlig reproduktionshastighet). Denna användning av derivatan låter dig föra statistik, spåra reproduktionshastigheten och så vidare.
Derivat i geografi och ekonomi
Derivatet låter geografer bestämmauppgifter som att hitta population, beräkna värden i seismografi, beräkna radioaktivitet hos nukleära geofysiska indikatorer, beräkna interpolation.
Inom ekonomi är en viktig del av beräkningar differentialkalkylen och beräkningen av derivatan. Först och främst tillåter detta oss att bestämma gränserna för de nödvändiga ekonomiska värdena. Till exempel den högsta och lägsta arbetsproduktiviteten, kostnader, vinster. I grund och botten är dessa värden beräknade från funktionsgrafer, där de hittar extrema, bestämmer monotoniteten för funktionen i det önskade området.
Slutsats
Den här differentialkalkylens roll är, som noterats i artikeln, involverad i olika vetenskapliga strukturer. Användningen av derivatfunktioner är ett viktigt inslag i den praktiska delen av vetenskap och produktion. Det är inte för inte som vi fick lära oss på gymnasiet och universitetet att bygga komplexa grafer, utforska och arbeta med funktioner. Som du kan se, utan derivat och differentialberäkningar, skulle det vara omöjligt att beräkna viktiga indikatorer och kvantiteter. Människan har lärt sig att modellera olika processer och utforska dem, för att lösa komplexa matematiska problem. Faktum är att matematik är drottningen av alla vetenskaper, eftersom denna vetenskap ligger till grund för alla andra naturliga och tekniska discipliner.
