För att uttrycka det enkelt och kortfattat är omfattningen de värden som alla funktioner kan ta. För att helt utforska detta ämne måste du gradvis demontera följande punkter och begrepp. Låt oss först förstå definitionen av funktionen och historien om dess utseende.
Vad är en funktion
Alla exakta vetenskaper ger oss många exempel där variablerna i fråga på något sätt beror på varandra. Till exempel bestäms densiteten av ett ämne helt av dess massa och volym. Trycket hos en idealgas vid konstant volym varierar med temperaturen. Dessa exempel förenas av det faktum att alla formler har beroenden mellan variabler, som kallas funktionella.
En funktion är ett begrepp som uttrycker beroendet av en storhet av en annan. Den har formen y=f(x), där y är värdet på funktionen, som beror på x - argumentet. Således kan vi säga att y är en variabel som beror på värdet av x. De värden som x kan ta tillsammans ärdomänen för den givna funktionen (D(y) eller D(f)), och följaktligen utgör värdena för y uppsättningen funktionsvärden (E(f) eller E(y)). Det finns fall då en funktion ges av någon formel. I det här fallet består definitionsdomänen av värdet av sådana variabler, där notationen med formeln är vettig.
Det finns matchande eller lika egenskaper. Det här är två funktioner som har lika intervall av giltiga värden, liksom värdena för själva funktionen är lika för alla samma argument.
Många lagar inom de exakta vetenskaperna har samma namn som situationer i det verkliga livet. Det finns ett sådant intressant faktum också om den matematiska funktionen. Det finns ett teorem om gränsen för en funktion "sandwich" mellan två andra som har samma gräns - om två poliser. De förklarar det så här: eftersom två poliser leder en fånge till en cell mellan sig, tvingas brottslingen att åka dit, och han har helt enkelt inget val.
Historisk funktionsreferens
Begreppet en funktion blev inte omedelbart slutgiltigt och exakt, det har genomgått en lång väg att bli. Först, Fermats Introduction and Study of Plane and Solid Places, publicerad i slutet av 1600-talet, angav följande:
När det finns två okända i den slutliga ekvationen, finns det utrymme.
I allmänhet talar detta verk om funktionellt beroende och dess materiella bild (plats=linje).
Också, ungefär samtidigt, studerade Rene Descartes linjerna genom deras ekvationer i sitt verk "Geometry" (1637), där återigen det faktumberoende av två kvantiteter av varandra.
Själva omnämnandet av termen "funktion" förekom först i slutet av 1600-talet med Leibniz, men inte i dess moderna tolkning. I sitt vetenskapliga arbete ansåg han att en funktion är olika segment associerade med en krökt linje.
Men redan på 1700-talet började funktionen definieras mer korrekt. Bernoulli skrev följande:
En funktion är ett värde som består av en variabel och en konstant.
Eulers tankar var också nära detta:
En variabel kvantitetsfunktion är ett analytiskt uttryck som på något sätt består av denna variabel kvantitet och tal eller konstanta kvantiteter.
När vissa kvantiteter är beroende av andra på ett sådant sätt att när de senare förändras, förändras de själva, då kallas de förra funktioner för de senare.
Funktionsdiagram
Funktionens graf består av alla punkter som hör till koordinatplanets axlar, vars abskissor tar argumentets värden, och funktionens värden i dessa punkter är ordinater.
Omfattningen av en funktion är direkt relaterad till dess graf, för om några abskissar exkluderas av intervallet av giltiga värden, måste du rita tomma punkter på grafen eller rita grafen inom vissa gränser. Till exempel, om en graf av formen y=tgx tas, så exkluderas värdet x=pi / 2 + pin, n∉R från definitionsområdet, i fallet med en tangentgraf måste du ritavertikala linjer parallella med y-axeln (de kallas asymptoter) som går genom punkterna ±pi/2.
Alla grundliga och noggranna studier av funktioner utgör en stor gren av matematiken som kallas kalkyl. I elementär matematik berörs även elementära frågor om funktioner, till exempel att bygga en enkel graf och fastställa några grundläggande egenskaper för en funktion.
Vilken funktion kan ställas in på
Funktion kan:
- vara en formel, till exempel: y=cos x;
- satt av valfri tabell med par i formen (x; y);
- har genast en grafisk vy, för detta måste paren från föregående punkt i formuläret (x; y) visas på koordinataxlarna.
Var försiktig när du löser vissa problem på hög nivå, nästan alla uttryck kan betraktas som en funktion med avseende på något argument för värdet av funktionen y (x). Att hitta definitionsdomänen i sådana uppgifter kan vara nyckeln till lösningen.
Vad är utrymmet för?
Det första du behöver veta om en funktion för att studera eller bygga den är dess omfattning. Grafen ska endast innehålla de punkter där funktionen kan existera. Definitionsdomänen (x) kan också hänvisas till som domänen för acceptabla värden (förkortas ODZ).
För att korrekt och snabbt bygga en graf över funktioner måste du känna till domänen för denna funktion, eftersom grafens utseende och trohet beror på denkonstruktion. Till exempel, för att konstruera en funktion y=√x måste du veta att x bara kan ta positiva värden. Därför byggs den bara i den första koordinatkvadranten.
Definitionsomfång på exemplet med elementära funktioner
I sin arsenal har matematiken ett litet antal enkla, definierade funktioner. De har en begränsad omfattning. Lösningen på detta problem kommer inte att orsaka svårigheter även om du har en så kallad komplex funktion framför dig. Det är bara en kombination av flera enkla.
- Så, funktionen kan vara bråk, till exempel: f(x)=1/x. Variabeln (vårt argument) finns alltså i nämnaren, och alla vet att nämnaren för ett bråk inte kan vara lika med 0, därför kan argumentet ta vilket värde som helst förutom 0. Notationen kommer att se ut så här: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Om det finns något uttryck med en variabel i nämnaren, måste du lösa ekvationen för x och exkludera värdena som gör nämnaren till 0. För en schematisk representation räcker det med 5 väl valda punkter. Grafen för denna funktion kommer att vara en hyperbel med en vertikal asymptot som går genom punkten (0; 0) och, i kombination, Ox- och Oy-axlarna. Om den grafiska bilden skär asymptoterna, kommer ett sådant fel att anses vara det grövsta.
- Men vad är domänen för roten? Domänen för en funktion med ett radik alt uttryck (f(x)=√(2x + 5)), som innehåller en variabel, har också sina egna nyanser (gäller endast roten av en jämn grad). Somden aritmetiska roten är ett positivt uttryck eller lika med 0, då måste rotuttrycket vara större än eller lika med 0, vi löser följande olikhet: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, därför är domänen för denna funktion: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Grafen är en av grenarna av en parabel, roterad 90 grader, placerad i den första koordinatkvadranten.
- Om vi har att göra med en logaritmisk funktion, så bör du komma ihåg att det finns en begränsning vad gäller basen för logaritmen och uttrycket under logaritmens tecken, i detta fall kan du hitta definitionsdomänen som följer. Vi har en funktion: y=loga(x + 7), vi löser olikheten: x + 7 > 0, x > -7. Då är domänen för denna funktion D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Var även uppmärksam på trigonometriska funktioner i formen y=tgx och y=ctgx, eftersom y=tgx=sinx/cos/x och y=ctgx=cosx/sinx, därför måste du utesluta värden där nämnaren kan vara lika med noll. Om du är bekant med graferna för trigonometriska funktioner är det en enkel uppgift att förstå deras domän.
Hur är det annorlunda att arbeta med komplexa funktioner
Kom ihåg några grundläggande regler. Om vi arbetar med en komplex funktion så finns det inget behov av att lösa något, förenkla, lägga till bråk, reducera till minsta gemensamma nämnare och extrahera rötter. Vi måste undersöka den här funktionen eftersom olika (även identiska) operationer kan ändra omfattningen av funktionen, vilket resulterar i ett felaktigt svar.
Vi har till exempel en komplex funktion: y=(x2 - 4)/(x - 2). Vi kan inte reducera täljaren och nämnaren för bråket, eftersom detta bara är möjligt om x ≠ 2, och detta är uppgiften att hitta funktionens domän, så vi faktoriserar inte täljaren och löser inte några olikheter, eftersom värde där funktionen inte existerar, synligt för blotta ögat. I det här fallet kan inte x ta på sig värdet 2, eftersom nämnaren inte kan gå till 0, kommer notationen att se ut så här: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Ömsesidiga funktioner
Till att börja med är det värt att säga att en funktion kan bli reversibel endast med ett intervall av ökning eller minskning. För att hitta den inversa funktionen måste du byta x och y i notationen och lösa ekvationen för x. Definitionsdomäner och värdedomäner är helt enkelt omvända.
Huvudvillkoret för reversibilitet är ett monotont intervall för en funktion, om en funktion har intervall för ökning och minskning, då är det möjligt att komponera den inversa funktionen av vilket intervall som helst (ökande eller minskande).
Till exempel, för exponentialfunktionen y=ex, är den reciproka den naturliga logaritmiska funktionen y=logea=lna. För trigonometri kommer dessa att vara funktioner med prefixet arc-: y=sinx och y=arcsinx och så vidare. Grafer kommer att placeras symmetriskt i förhållande till vissa axlar eller asymptoter.
slutsatser
Att söka efter intervallet av acceptabla värden handlar om att undersöka grafen över funktioner (om det finns en),registrera och lösa det nödvändiga specifika systemet av ojämlikheter.
Så, den här artikeln hjälpte dig att förstå vad omfattningen av en funktion är till för och hur du hittar den. Vi hoppas att det kommer att hjälpa dig att förstå grundkursen i skolan väl.
