Georg Kantor (foto ges längre fram i artikeln) är en tysk matematiker som skapade mängdlära och introducerade begreppet transfinita tal, oändligt stora, men olika varandra. Han definierade också ordnings- och kardin altal och skapade deras aritmetik.
Georg Kantor: kort biografi
Född i S:t Petersburg 1845-03-03. Hans far var en dansk av protestantisk tro, Georg-Valdemar Kantor, som ägnade sig åt handel, bland annat på börsen. Hans mor Maria Bem var katolik och kom från en familj av framstående musiker. När Georgs far insjuknade 1856 flyttade familjen först till Wiesbaden och sedan till Frankfurt i jakt på ett mildare klimat. Pojkens matematiska talanger visade sig redan innan hans 15-årsdag när han studerade på privata skolor och gymnastiksalar i Darmstadt och Wiesbaden. Till slut övertygade Georg Cantor sin far om hans bestämda avsikt att bli matematiker, inte ingenjör.
Efter en kort studie vid universitetet i Zürich flyttade Kantor 1863 till universitetet i Berlin för att studera fysik, filosofi och matematik. Där honomlärde ut:
- Karl Theodor Weierstrass, vars specialisering inom analys förmodligen hade störst inflytande på Georg;
- Ernst Eduard Kummer, som lärde ut högre aritmetik;
- Leopold Kronecker, t alteoretiker som senare motsatte sig Cantor.
Efter att ha tillbringat en termin vid universitetet i Göttingen 1866 skrev Georg följande år sin doktorsavhandling med titeln "I matematiken är konsten att ställa frågor mer värdefull än att lösa problem", angående ett problem som Carl Friedrich Gauss hade lämnade olöst i hans Disquisitiones Arithmeticae (1801). Efter att ha undervisat kort vid Berlin School for Girls började Kantor arbeta vid universitetet i Halle, där han stannade till slutet av sitt liv, först som lärare, från 1872 som adjunkt och från 1879 som professor.
Forskning
I början av en serie om 10 artiklar från 1869 till 1873 övervägde Georg Cantor sifferteori. Verket speglade hans passion för ämnet, hans studier av Gauss och Kroneckers inflytande. På förslag av Heinrich Eduard Heine, Cantors kollega i Halle, som kände igen hans matematiska talang, vände han sig till teorin om trigonometriska serier, där han utvidgade begreppet reella tal.
Baserat på arbetet med en komplex variabels funktion av den tyske matematikern Bernhard Riemann 1854, visade Kantor 1870 att en sådan funktion bara kan representeras på ett sätt - med trigonometriska serier. Övervägande av en uppsättning siffror (poäng) sominte skulle motsäga en sådan uppfattning, ledde honom, för det första, 1872 till definitionen av irrationella tal i termer av konvergenta sekvenser av rationella tal (bråkdelar av heltal) och vidare till början av arbetet med hans livsverk, mängdlära och begreppet av transfinita tal.
Mängdteori
Georg Cantor, vars mängdteori har sitt ursprung i korrespondens med matematikern vid Technical Institute of Braunschweig Richard Dedekind, var en vän till honom sedan barndomen. De drog slutsatsen att mängder, vare sig de är ändliga eller oändliga, är samlingar av element (t.ex. tal, {0, ±1, ±2…}) som har en viss egenskap samtidigt som de behåller sin individualitet. Men när Georg Cantor använde en en-till-en-korrespondens (till exempel {A, B, C} till {1, 2, 3}) för att studera deras egenskaper, insåg han snabbt att de skiljer sig åt i graden av medlemskap, till och med om de var oändliga mängder., det vill säga mängder, vars del eller delmängd inkluderar lika många objekt som den själv. Hans metod gav snart fantastiska resultat.
År 1873 visade Georg Cantor (matematiker) att rationella tal, även om de är oändliga, kan räknas eftersom de kan sättas i en-till-en-överensstämmelse med naturliga tal (dvs. 1, 2, 3, etc.). d.). Han visade att uppsättningen av reella tal, bestående av irrationella och rationella, är oändlig och oräknelig. Mer paradox alt nog visade Cantor att mängden av alla algebraiska tal innehåller lika många element somhur många är mängden av alla heltal och att transcendentala tal, som inte är algebraiska, som är en delmängd av irrationella tal, är oräkneliga och därför är deras antal större än heltal och bör betraktas som oändliga.
Motståndare och supportrar
Men Kantors tidning, där han först lade fram dessa resultat, publicerades inte i Krell, eftersom en av recensenterna, Kronecker, var häftigt emot. Men efter Dedekinds ingripande publicerades den 1874 under titeln "Om alla reella algebraiska tals karakteristiska egenskaper."
Vetenskap och privatliv
Samma år, på sin smekmånad med sin fru Wally Gutman i Interlaken, Schweiz, träffade Kantor Dedekind, som talade positivt om sin nya teori. Georges lön var liten, men med pengarna från sin far, som dog 1863, byggde han ett hus åt sin fru och fem barn. Många av hans artiklar publicerades i Sverige i den nya tidskriften Acta Mathematica, redigerad och grundad av Gesta Mittag-Leffler, som var bland de första att erkänna den tyska matematikerns talang.
Anslutning till metafysik
Cantors teori blev ett helt nytt ämne för studien angående det oändligas matematik (t.ex. serier 1, 2, 3, etc., och mer komplexa mängder), som var starkt beroende av en-till-en-korrespondens. Kantors utveckling av nya iscensättningsmetoderfrågor om kontinuitet och oändlighet gav hans forskning en tvetydig karaktär.
När han hävdade att oändliga tal verkligen existerar vände han sig till antik och medeltida filosofi angående faktisk och potentiell oändlighet, såväl som till den tidiga religiösa utbildning som hans föräldrar gav honom. År 1883, i sin bok Foundations of General Set Theory, kombinerade Kantor sitt koncept med Platons metafysik.
Kronecker, som hävdade att endast heltal "existerar" ("Gud skapade heltalen, resten är människans verk"), avvisade i många år häftigt hans resonemang och förhindrade hans utnämning vid universitetet i Berlin.
Transfinita tal
Under 1895-97. Georg Cantor formade helt sin föreställning om kontinuitet och oändlighet, inklusive oändliga ordnings- och kardin altal, i sitt mest kända verk, publicerat som Bidrag till upprättandet av teorin om transfinita tal (1915). Den här uppsatsen innehåller hans koncept, som han leddes till genom att demonstrera att en oändlig mängd kan sättas i en en-till-en korrespondens med en av dess delmängder.
Under det minst transfinita kardinalnumret menade han kardinaliteten hos vilken mängd som helst som kan sättas i en-till-en-korrespondens med naturliga tal. Cantor kallade det aleph-null. Stora transfinita mängder betecknas alef-ett, alef-två, etc. Han vidareutvecklade aritmetiken för transfinita tal, som var analog med finit aritmetik. så hanberikade begreppet oändlighet.
Oppositionen han mötte och tiden det tog för hans idéer att accepteras fullt ut beror på svårigheten att omvärdera den gamla frågan om vad ett tal är. Cantor visade att uppsättningen punkter på en linje har en högre kardinalitet än alef-noll. Detta ledde till det välkända problemet med kontinuumhypotesen - det finns inga kardin altal mellan alef-noll och styrkan av punkter på linjen. Detta problem under första och andra hälften av 1900-talet väckte stort intresse och studerades av många matematiker, däribland Kurt Gödel och Paul Cohen.
Depression
Biografin om Georg Kantor sedan 1884 överskuggades av hans psykiska sjukdom, men han fortsatte att arbeta aktivt. 1897 hjälpte han till att hålla den första internationella matematiska kongressen i Zürich. Delvis för att han motarbetades av Kronecker sympatiserade han ofta med unga blivande matematiker och försökte hitta ett sätt att rädda dem från trakasserier av lärare som kände sig hotade av nya idéer.
Erkännande
Vid sekelskiftet var hans arbete fullt erkänt som grunden för funktionsteori, analys och topologi. Dessutom tjänade kantor Georgs böcker som en drivkraft för den fortsatta utvecklingen av de intuitionistiska och formalistiska skolorna för matematikens logiska grundvalar. Detta förändrade undervisningssystemet avsevärt och förknippas ofta med den "nya matematiken".
År 1911 var Kantor bland dem som inbjöds tillfirande av 500-årsjubileet för University of St. Andrews i Skottland. Han åkte dit i hopp om att träffa Bertrand Russell, som i sitt nyligen publicerade verk Principia Mathematica upprepade gånger hänvisade till den tyske matematikern, men så blev det inte. Universitetet tilldelade Kantor en hedersexamen, men på grund av sjukdom kunde han inte ta emot priset personligen.
Kantor gick i pension 1913, levde i fattigdom och sv alt under första världskriget. Firandet av hans 70-årsdag 1915 ställdes in på grund av kriget, men en liten ceremoni ägde rum i hans hem. Han dog den 1/06/1918 i Halle, på ett psykiatriskt sjukhus, där han tillbringade de sista åren av sitt liv.
Georg Kantor: biografi. Familj
Den 9 augusti 1874 gifte sig en tysk matematiker med Wally Gutmann. Paret fick 4 söner och 2 döttrar. Det sista barnet föddes 1886 i ett nytt hus som köptes av Kantor. Hans fars arv hjälpte honom försörja sin familj. Kantors hälsa påverkades kraftigt av hans yngste sons död 1899, och depressionen har inte lämnat honom sedan dess.
