Planekvationer. Vinkel mellan två plan

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-02 17:56

Ett plan, tillsammans med en punkt och en rät linje, är ett grundläggande geometriskt element. Med dess användning byggs många figurer inom rumslig geometri. I den här artikeln kommer vi att överväga mer i detalj frågan om hur man hittar en vinkel mellan två plan.

Koncept

Innan du pratar om vinkeln mellan två plan bör du förstå väl vilket element i geometri vi talar om. Låt oss förstå terminologin. Ett plan är en oändlig samling av punkter i rymden, som förbinder som vi får vektorer. Den senare kommer att vara vinkelrät mot någon vektor. Det kallas vanligtvis normalen till planet.

Figuren ovan visar ett plan och två normalvektorer till det. Det kan ses att båda vektorerna ligger på samma räta linje. Vinkeln mellan dem är 180o.

Equations

Vinkeln mellan två plan kan bestämmas om den matematiska ekvationen för det betraktade geometriska elementet är känd. Det finns flera typer av sådana ekvationer,vars namn är listade nedan:

• allmän typ;
• vektor;
• i segment.

Dessa tre typer är de mest bekväma för att lösa olika typer av problem, så de används oftast.

En allmän typekvation ser ut så här:

Ax + By + Cz + D=0.

Här är x, y, z koordinaterna för en godtycklig punkt som hör till det givna planet. Parametrarna A, B, C och D är siffror. Bekvämligheten med denna notation ligger i det faktum att talen A, B, C är koordinaterna för en vektor som är vinkelrät mot planet.

Planets vektorform kan representeras enligt följande:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Här (a₂, b₂, c₂) och (a_{) 1}, b₁, c₁) - parametrar för två koordinatvektorer som hör till det betraktade planet. Punkten (x₀, y₀, z_{0) ligger också i detta plan. Parametrarna α och β kan ha oberoende och godtyckliga värden.}

Slutligen representeras ekvationen för planet i segment i följande matematiska form:

x/p + y/q + z/l=1.

Här är p, q, l specifika tal (inklusive negativa). Denna typ av ekvation är användbar när det är nödvändigt att avbilda ett plan i ett rektangulärt koordinatsystem, eftersom talen p, q, l visar skärningspunkterna med x-, y- och z-axlarnaplan.

Observera att varje typ av ekvation kan konverteras till vilken som helst annan med enkla matematiska operationer.

Formel för vinkeln mellan två plan

Tänk nu på följande nyans. I det tredimensionella rummet kan två plan placeras på endast två sätt. Antingen skära eller vara parallella. Mellan två plan är vinkeln den som ligger mellan deras guidevektorer (normal). Skärande, 2 vektorer bildar 2 vinklar (spetsa och trubbiga i det allmänna fallet). Vinkeln mellan planen anses vara spetsig. Tänk på ekvationen.

Formeln för vinkeln mellan två plan är:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Det är lätt att gissa att detta uttryck är en direkt konsekvens av den skalära produkten av normalvektorerna n₁¯ och n₂ ¯ för de aktuella planen. Modulen för punktprodukten i täljaren indikerar att vinkeln θ endast tar värden från 0^o till 90^{o. Produkten av moduler av normalvektorer i nämnaren betyder produkten av deras längder.}

Observera, om (n₁¯n_{2¯)=0, så skärs planen i rät vinkel.}

Exempelproblem

När vi har räknat ut vad som kallas vinkeln mellan två plan kommer vi att lösa följande problem. Som ett exempel. Så det är nödvändigt att beräkna vinkeln mellan sådana plan:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

För att lösa problemet måste du känna till planens riktningsvektorer. För det första planet är normalvektorn: n₁¯=(2, -3, 0). För att hitta den andra plannormalvektorn bör man multiplicera vektorerna efter parametrarna α och β. Resultatet är en vektor: n_{2¯=(5, -3, 2).}

För att bestämma vinkeln θ använder vi formeln från föregående stycke. Vi får:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.

Den beräknade vinkeln i radianer motsvarar 31,26^o. Således skär planen från problemets tillstånd i en vinkel på 31, 26^o.